Theorem cldrcl 12274

Description: Reverse closure of the closed set operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cldrcl	|- ( C e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )

Proof of Theorem cldrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fncld 12270	. . . 4 |- Clsd Fn Top
2		fnrel 5221	. . . 4 |- ( Clsd Fn Top -> Rel Clsd )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel Clsd
4		relelfvdm 5453	. . 3 |- ( ( Rel Clsd /\ C e. ( Clsd ` J ) ) -> J e. dom Clsd )
5	3, 4	mpan 420	. 2 |- ( C e. ( Clsd ` J ) -> J e. dom Clsd )
6		fndm 5222	. . 3 |- ( Clsd Fn Top -> dom Clsd = Top )
7	1, 6	ax-mp 5	. 2 |- dom Clsd = Top
8	5, 7	eleqtrdi 2232	1 |- ( C e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   dom cdm 4539   Rel wrel 4544   Fn wfn 5118   ` cfv 5123   Topctop 12167   Clsdccld 12264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-fv 5131  df-cld 12267

This theorem is referenced by:  cldss  12277  cldopn  12279  difopn  12280  uncld  12285  cldcls  12286  clsss2  12301