Theorem eleqtrdi 2232

Description: A membership and equality inference. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
eleqtrdi.1	|- ( ph -> A e. B )
eleqtrdi.2	|- B = C

Assertion

Ref	Expression
eleqtrdi	|- ( ph -> A e. C )

Proof of Theorem eleqtrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleqtrdi.1	. 2 |- ( ph -> A e. B )
2		eleqtrdi.2	. . 3 |- B = C
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ph -> B = C )
4	1, 3	eleqtrd 2218	1 |- ( ph -> A e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1423  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-ial 1514  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-cleq 2132  df-clel 2135

This theorem is referenced by:  eleqtrrdi  2233  prid2g  3628  freccllem  6299  finomni  7012  exmidomniim  7013  ismkvnex  7029  exmidaclem  7064  caucvgprprlem2  7521  gt0srpr  7559  eluzel2  9334  fseq1p1m1  9877  fznn0sub2  9908  nn0split  9916  nnsplit  9917  exple1  10352  bcval5  10512  bcpasc  10515  zfz1isolemsplit  10584  seq3coll  10588  clim2ser  11109  clim2ser2  11110  iserex  11111  isermulc2  11112  iserle  11114  iserge0  11115  climub  11116  climserle  11117  serf0  11124  summodclem3  11152  summodclem2a  11153  fsum3  11159  sum0  11160  fsumcl2lem  11170  fsumadd  11178  isumclim3  11195  isumadd  11203  fsump1i  11205  fsummulc2  11220  cvgcmpub  11248  binom1dif  11259  isumshft  11262  isumsplit  11263  isumrpcl  11266  arisum2  11271  trireciplem  11272  geoserap  11279  geolim  11283  geo2lim  11288  cvgratnnlemnexp  11296  cvgratnnlemseq  11298  cvgratgt0  11305  mertenslemi1  11307  mertenslem2  11308  mertensabs  11309  clim2prod  11311  clim2divap  11312  prodmodclem3  11347  prodmodclem2a  11348  efcvgfsum  11376  efcj  11382  effsumlt  11401  mod2eq1n2dvds  11579  algrp1  11730  phiprmpw  11901  crth  11903  phimullem  11904  ennnfonelemp1  11922  istps  12202  topontopn  12207  cldrcl  12274  cnrehmeocntop  12765  nnsf  13202  nninfsellemqall  13214  nninfomnilem  13217  cvgcmp2nlemabs  13230  trilpolemeq1  13236