Theorem cnmpt11 12452

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt11.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
cnmpt11.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt11.b	|- ( ph -> ( y e. Y |-> B ) e. ( K Cn L ) )
cnmpt11.c	|- ( y = A -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt11	|- ( ph -> ( x e. X |-> C ) e. ( J Cn L ) )

Distinct variable groups:   y, A   x, y   ph, x   x, J, y   x, X, y   x, Y, y   x, K, y   x, L, y   x, B   y, C

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( x)   B( y)   C( x)

Proof of Theorem cnmpt11

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
2		cnmptid.j	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
3		cnmpt11.k	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
4		cnmpt11.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
5		cnf2 12374	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
7		eqid 2139	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
8	7	fmpt 5570	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. X A e. Y <-> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
9	6, 8	sylibr 133	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. X A e. Y )
10	9	r19.21bi 2520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. Y )
11	7	fvmpt2 5504	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ A e. Y ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
12	1, 10, 11	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
13	12	fveq2d 5425	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( y e. Y |-> B ) ` ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( y e. Y |-> B ) ` A ) )
14		eqid 2139	. . . . . . . 8 |- ( y e. Y |-> B ) = ( y e. Y |-> B )
15		cnmpt11.c	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> B = C )
16	15	eleq1d 2208	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( B e. U. L <-> C e. U. L ) )
17		cnmpt11.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( y e. Y |-> B ) e. ( K Cn L ) )
18		cntop2 12371	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Y |-> B ) e. ( K Cn L ) -> L e. Top )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> L e. Top )
20		eqid 2139	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. L = U. L
21	20	toptopon 12185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
22	19, 21	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
23		cnf2 12374	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( y e. Y |-> B ) e. ( K Cn L ) ) -> ( y e. Y |-> B ) : Y --> U. L )
24	3, 22, 17, 23	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. Y |-> B ) : Y --> U. L )
25	14	fmpt 5570	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. Y B e. U. L <-> ( y e. Y |-> B ) : Y --> U. L )
26	24, 25	sylibr 133	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. y e. Y B e. U. L )
27	26	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. Y B e. U. L )
28	16, 27, 10	rspcdva 2794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. U. L )
29	14, 15, 10, 28	fvmptd3 5514	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( y e. Y |-> B ) ` A ) = C )
30	13, 29	eqtrd 2172	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( y e. Y |-> B ) ` ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = C )
31		fvco3 5492	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. X |-> A ) : X --> Y /\ x e. X ) -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( y e. Y |-> B ) ` ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) )
32	6, 31	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( y e. Y |-> B ) ` ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) )
33		eqid 2139	. . . . . . . 8 |- ( x e. X |-> C ) = ( x e. X |-> C )
34	33	fvmpt2 5504	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X /\ C e. U. L ) -> ( ( x e. X |-> C ) ` x ) = C )
35	1, 28, 34	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> C ) ` x ) = C )
36	30, 32, 35	3eqtr4d 2182	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` x ) )
37	36	ralrimiva 2505	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` x ) )
38		nfv 1508	. . . . 5 |- F/ z ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` x )
39		nfcv 2281	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( y e. Y |-> B )
40		nfmpt1 4021	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. X |-> A )
41	39, 40	nfco 4704	. . . . . . 7 |- F/_ x ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) )
42		nfcv 2281	. . . . . . 7 |- F/_ x z
43	41, 42	nffv 5431	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z )
44		nfmpt1 4021	. . . . . . 7 |- F/_ x ( x e. X |-> C )
45	44, 42	nffv 5431	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( x e. X |-> C ) ` z )
46	43, 45	nfeq 2289	. . . . 5 |- F/ x ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z )
47		fveq2 5421	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) )
48		fveq2 5421	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( x e. X |-> C ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) )
49	47, 48	eqeq12d 2154	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` x ) <-> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) ) )
50	38, 46, 49	cbvral 2650	. . . 4 |- ( A. x e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` x ) <-> A. z e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) )
51	37, 50	sylib 121	. . 3 |- ( ph -> A. z e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) )
52		fco 5288	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. Y |-> B ) : Y --> U. L /\ ( x e. X |-> A ) : X --> Y ) -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) : X --> U. L )
53	24, 6, 52	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) : X --> U. L )
54	53	ffnd 5273	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) Fn X )
55	28	fmpttd 5575	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) : X --> U. L )
56	55	ffnd 5273	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) Fn X )
57		eqfnfv 5518	. . . 4 |- ( ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) Fn X /\ ( x e. X |-> C ) Fn X ) -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> C ) <-> A. z e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) ) )
58	54, 56, 57	syl2anc 408	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> C ) <-> A. z e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) ) )
59	51, 58	mpbird 166	. 2 |- ( ph -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> C ) )
60		cnco 12390	. . 3 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) /\ ( y e. Y |-> B ) e. ( K Cn L ) ) -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) e. ( J Cn L ) )
61	4, 17, 60	syl2anc 408	. 2 |- ( ph -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) e. ( J Cn L ) )
62	59, 61	eqeltrrd 2217	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) e. ( J Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   U.cuni 3736   |-> cmpt 3989   o. ccom 4543   Fn wfn 5118   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   Topctop 12164  TopOnctopon 12177   Cn ccn 12354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-top 12165  df-topon 12178  df-cn 12357

This theorem is referenced by:  cnmpt11f  12453