Theorem rspcdva 2794

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcdva.1	|- ( x = C -> ( ps <-> ch ) )
rspcdva.2	|- ( ph -> A. x e. A ps )
rspcdva.3	|- ( ph -> C e. A )

Assertion

Ref	Expression
rspcdva	|- ( ph -> ch )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ch, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem rspcdva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcdva.3	. 2 |- ( ph -> C e. A )
2		rspcdva.2	. 2 |- ( ph -> A. x e. A ps )
3		rspcdva.1	. . 3 |- ( x = C -> ( ps <-> ch ) )
4	3	rspcv 2785	. 2 |- ( C e. A -> ( A. x e. A ps -> ch ) )
5	1, 2, 4	sylc 62	1 |- ( ph -> ch )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688

This theorem is referenced by:  frirrg  4272  wetriext  4491  tfisi  4501  omsinds  4535  grprinvlem  5965  grprinvd  5966  suppssov1  5979  caofref  6003  caofinvl  6004  oprssdmm  6069  tfrlem1  6205  tfrlem5  6211  tfr1onlemsucfn  6237  tfr1onlemsucaccv  6238  tfr1onlembxssdm  6240  tfr1onlembfn  6241  tfr1onlemaccex  6245  tfr1onlemres  6246  tfrcllemsucfn  6250  tfrcllemsucaccv  6251  tfrcllembxssdm  6253  tfrcllembfn  6254  tfrcllemaccex  6258  tfrcllemres  6259  tfrcl  6261  rdgon  6283  frecabcl  6296  undifdcss  6811  ctssdclemn0  6995  ctssdc  6998  enomnilem  7010  fodju0  7019  fodjuomnilemres  7020  ismkvnex  7029  fodjumkvlemres  7033  exmidaclem  7064  prltlu  7295  cauappcvgprlemm  7453  caucvgprlemm  7476  caucvgprprlemml  7502  suplocexprlemmu  7526  suplocexprlemdisj  7528  suplocexprlemloc  7529  suplocexprlemub  7531  caucvgsrlemgt1  7603  caucvgsr  7610  suplocsrlemb  7614  suplocsrlempr  7615  suplocsrlem  7616  axcaucvglemcau  7706  axcaucvglemres  7707  axpre-suploclemres  7709  exbtwnzlemstep  10025  apbtwnz  10047  frecuzrdgsuc  10187  frecuzrdgg  10189  frecuzrdgsuctlem  10196  uzsinds  10215  iseqovex  10229  seq3val  10231  seqvalcd  10232  seq3-1  10233  seqf  10234  seq3p1  10235  seqovcd  10236  seqp1cd  10239  seq3clss  10240  seq3fveq2  10242  seq3fveq  10244  seq3feq  10245  seq3shft2  10246  monoord  10249  monoord2  10250  ser3mono  10251  seq3split  10252  seq3caopr3  10254  iseqf1olemkle  10257  iseqf1olemklt  10258  iseqf1olemjpcl  10268  iseqf1olemqpcl  10269  iseqf1olemfvp  10270  seq3f1olemqsumkj  10271  seq3f1olemqsum  10273  seq3f1oleml  10276  seq3f1o  10277  seq3id3  10280  seq3id  10281  seq3id2  10282  seq3homo  10283  seq3z  10284  ser3ge0  10290  zfz1isolemiso  10582  seq3shft  10610  cvg1nlemcau  10756  cvg1nlemres  10757  recvguniq  10767  resqrexlemgt0  10792  resqrexlemoverl  10793  resqrexlemglsq  10794  climi  11056  climcn1  11077  serf0  11121  fsum3cvg  11147  summodclem2  11151  summodc  11152  fsum3  11156  isumz  11158  fsumf1o  11159  isumss  11160  fisumss  11161  isumss2  11162  fsum3cvg2  11163  fsum3cvg3  11165  fsum3ser  11166  fsumsplit  11176  fsumm1  11185  fsum1p  11187  fisumcom2  11207  fsumge1  11230  telfsumo  11235  telfsumo2  11236  fsumparts  11239  isumshft  11259  isum1p  11261  isumnn0nn  11262  isumrpcl  11263  cvgratnnlemnexp  11293  cvgratnnlemmn  11294  cvgratnnlemseq  11295  cvgratnnlemabsle  11296  cvgratnnlemfm  11298  cvgratnnlemrate  11299  cvgratnn  11300  cvgratz  11301  mertenslemi1  11304  mertenslem2  11305  mertensabs  11306  fproddccvg  11341  prodmodclem2a  11345  prodmodc  11347  bezoutlemmain  11686  bezoutlemex  11689  bezoutlemzz  11690  bezoutlemmo  11694  bezoutlemle  11696  bezoutlemsup  11697  prmind2  11801  ennnfonelemk  11913  ennnfonelemex  11927  ennnfonelemnn0  11935  ctinfomlemom  11940  ctiunctlemudc  11950  icnpimaex  12380  lmcvg  12386  lmff  12418  cnmpt11  12452  cnmpt21  12460  comet  12668  dedekindeulemuub  12764  dedekindeulemloc  12766  dedekindeulemlu  12768  dedekindeulemeu  12769  suplociccreex  12771  suplociccex  12772  dedekindicclemuub  12773  dedekindicclemloc  12775  dedekindicclemlu  12777  dedekindicclemeu  12778  dedekindicc  12780  ivthinclemlopn  12783  ivthinclemlr  12784  ivthinclemuopn  12785  ivthinclemur  12786  ivthinclemdisj  12787  ivthinclemloc  12788  ivthinc  12790  ivthdec  12791  limcimolemlt  12802  limcimo  12803  cnplimclemr  12807  cnlimci  12811  cnmptlimc  12812  limccnpcntop  12813  limccoap  12816  dvcoapbr  12840  sin0pilem2  12863  pilem3  12864  subctctexmid  13196  nnsf  13199  nninfalllemn  13202  nninfalllem1  13203  nninfsellemeqinf  13212  isomninnlem  13225  trilpolemlt1  13234