Theorem cnmpt2t 12462

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt21.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt21.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt21.a	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
cnmpt2t.b	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt2t	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, L   ph, x, y   x, X, y   x, M, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   J( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2t

Dummy variables v u z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5421	. . . . . . 7 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. u , v >. ) )
2		df-ov 5777	. . . . . . 7 |- ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` <. u , v >. )
3	1, 2	syl6eqr 2190	. . . . . 6 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) = ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) )
4		fveq2 5421	. . . . . . 7 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` <. u , v >. ) )
5		df-ov 5777	. . . . . . 7 |- ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) = ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` <. u , v >. )
6	4, 5	syl6eqr 2190	. . . . . 6 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) = ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) )
7	3, 6	opeq12d 3713	. . . . 5 |- ( z = <. u , v >. -> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. = <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >. )
8	7	mpompt 5863	. . . 4 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( u e. X , v e. Y |-> <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >. )
9		nfcv 2281	. . . . . . 7 |- F/_ x u
10		nfmpo1 5838	. . . . . . 7 |- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> A )
11		nfcv 2281	. . . . . . 7 |- F/_ x v
12	9, 10, 11	nfov 5801	. . . . . 6 |- F/_ x ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v )
13		nfmpo1 5838	. . . . . . 7 |- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> B )
14	9, 13, 11	nfov 5801	. . . . . 6 |- F/_ x ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v )
15	12, 14	nfop 3721	. . . . 5 |- F/_ x <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >.
16		nfcv 2281	. . . . . . 7 |- F/_ y u
17		nfmpo2 5839	. . . . . . 7 |- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> A )
18		nfcv 2281	. . . . . . 7 |- F/_ y v
19	16, 17, 18	nfov 5801	. . . . . 6 |- F/_ y ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v )
20		nfmpo2 5839	. . . . . . 7 |- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> B )
21	16, 20, 18	nfov 5801	. . . . . 6 |- F/_ y ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v )
22	19, 21	nfop 3721	. . . . 5 |- F/_ y <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >.
23		nfcv 2281	. . . . 5 |- F/_ u <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >.
24		nfcv 2281	. . . . 5 |- F/_ v <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >.
25		oveq12 5783	. . . . . 6 |- ( ( u = x /\ v = y ) -> ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) = ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) )
26		oveq12 5783	. . . . . 6 |- ( ( u = x /\ v = y ) -> ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) = ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) )
27	25, 26	opeq12d 3713	. . . . 5 |- ( ( u = x /\ v = y ) -> <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >. = <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. )
28	15, 22, 23, 24, 27	cbvmpo 5850	. . . 4 |- ( u e. X , v e. Y |-> <. ( u ( x e. X , y e. Y |-> A ) v ) , ( u ( x e. X , y e. Y |-> B ) v ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. )
29	8, 28	eqtri 2160	. . 3 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. )
30		cnmpt21.j	. . . . 5 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
31		cnmpt21.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
32		txtopon 12431	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
33	30, 31, 32	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
34		toponuni 12182	. . . 4 |- ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. ( J tX K ) )
35		mpteq1 4012	. . . 4 |- ( ( X X. Y ) = U. ( J tX K ) -> ( z e. ( X X. Y ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) )
36	33, 34, 35	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( z e. ( X X. Y ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) )
37		simp2 982	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> x e. X )
38		simp3 983	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> y e. Y )
39		cnmpt21.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
40		cntop2 12371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) -> L e. Top )
41	39, 40	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. Top )
42		toptopon2 12186	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
43	41, 42	sylib 121	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
44		cnf2 12374	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
45	33, 43, 39, 44	syl3anc 1216	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
46		eqid 2139	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X , y e. Y |-> A ) = ( x e. X , y e. Y |-> A )
47	46	fmpo 6099	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L <-> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
48	45, 47	sylibr 133	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y A e. U. L )
49		rsp2 2482	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. U. L ) )
50	48, 49	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> A e. U. L ) )
51	50	3impib 1179	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> A e. U. L )
52	46	ovmpt4g 5893	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
53	37, 38, 51, 52	syl3anc 1216	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
54		cnmpt2t.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) )
55		cntop2 12371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) -> M e. Top )
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. Top )
57		toptopon2 12186	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. Top <-> M e. (TopOn ` U. M ) )
58	56, 57	sylib 121	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. (TopOn ` U. M ) )
59		cnf2 12374	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ M e. (TopOn ` U. M ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> U. M )
60	33, 58, 54, 59	syl3anc 1216	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> U. M )
61		eqid 2139	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X , y e. Y |-> B ) = ( x e. X , y e. Y |-> B )
62	61	fmpo 6099	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. X A. y e. Y B e. U. M <-> ( x e. X , y e. Y |-> B ) : ( X X. Y ) --> U. M )
63	60, 62	sylibr 133	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y B e. U. M )
64		rsp2 2482	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y B e. U. M -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> B e. U. M ) )
65	63, 64	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> B e. U. M ) )
66	65	3impib 1179	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> B e. U. M )
67	61	ovmpt4g 5893	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ B e. U. M ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) = B )
68	37, 38, 66, 67	syl3anc 1216	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) = B )
69	53, 68	opeq12d 3713	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. = <. A , B >. )
70	69	mpoeq3dva 5835	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) , ( x ( x e. X , y e. Y |-> B ) y ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) )
71	29, 36, 70	3eqtr3a 2196	. 2 |- ( ph -> ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) )
72		eqid 2139	. . . 4 |- U. ( J tX K ) = U. ( J tX K )
73		eqid 2139	. . . 4 |- ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) = ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. )
74	72, 73	txcnmpt 12442	. . 3 |- ( ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> B ) e. ( ( J tX K ) Cn M ) ) -> ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )
75	39, 54, 74	syl2anc 408	. 2 |- ( ph -> ( z e. U. ( J tX K ) |-> <. ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) ` z ) , ( ( x e. X , y e. Y |-> B ) ` z ) >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )
76	71, 75	eqeltrrd 2217	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. A , B >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L tX M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   <.cop 3530   U.cuni 3736   |-> cmpt 3989   X. cxp 4537   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776   Topctop 12164  TopOnctopon 12177   Cn ccn 12354   tX ctx 12421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-topgen 12141  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-cn 12357  df-tx 12422

This theorem is referenced by:  cnmpt22  12463  txhmeo  12488  txswaphmeo  12490