Theorem txcnmpt 12442

Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txcnmpt.1	|- W = U. U
txcnmpt.2	|- H = ( x e. W |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. )

Assertion

Ref	Expression
txcnmpt	|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> H e. ( U Cn ( R tX S ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, G   x, R   x, S   x, U   x, W

Allowed substitution hint:   H( x)

Proof of Theorem txcnmpt

Dummy variables s r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txcnmpt.1	. . . . . . 7 |- W = U. U
2		eqid 2139	. . . . . . 7 |- U. R = U. R
3	1, 2	cnf 12373	. . . . . 6 |- ( F e. ( U Cn R ) -> F : W --> U. R )
4	3	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> F : W --> U. R )
5	4	ffvelrnda 5555	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ x e. W ) -> ( F ` x ) e. U. R )
6		eqid 2139	. . . . . . 7 |- U. S = U. S
7	1, 6	cnf 12373	. . . . . 6 |- ( G e. ( U Cn S ) -> G : W --> U. S )
8	7	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> G : W --> U. S )
9	8	ffvelrnda 5555	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ x e. W ) -> ( G ` x ) e. U. S )
10	5, 9	opelxpd 4572	. . 3 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ x e. W ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( U. R X. U. S ) )
11		txcnmpt.2	. . 3 |- H = ( x e. W |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. )
12	10, 11	fmptd 5574	. 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> H : W --> ( U. R X. U. S ) )
13	11	mptpreima 5032	. . . . . 6 |- ( `' H " ( r X. s ) ) = { x e. W | <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) }
14	4	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> F : W --> U. R )
15	14	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> F : W --> U. R )
16		ffn 5272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : W --> U. R -> F Fn W )
17		elpreima 5539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn W -> ( x e. ( `' F " r ) <-> ( x e. W /\ ( F ` x ) e. r ) ) )
18	15, 16, 17	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( `' F " r ) <-> ( x e. W /\ ( F ` x ) e. r ) ) )
19		ibar 299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. W -> ( ( F ` x ) e. r <-> ( x e. W /\ ( F ` x ) e. r ) ) )
20	19	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( ( F ` x ) e. r <-> ( x e. W /\ ( F ` x ) e. r ) ) )
21	18, 20	bitr4d 190	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( `' F " r ) <-> ( F ` x ) e. r ) )
22	8	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> G : W --> U. S )
23		ffn 5272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : W --> U. S -> G Fn W )
24		elpreima 5539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G Fn W -> ( x e. ( `' G " s ) <-> ( x e. W /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
25	22, 23, 24	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( `' G " s ) <-> ( x e. W /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
26		ibar 299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. W -> ( ( G ` x ) e. s <-> ( x e. W /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
27	26	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( ( G ` x ) e. s <-> ( x e. W /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
28	25, 27	bitr4d 190	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( `' G " s ) <-> ( G ` x ) e. s ) )
29	21, 28	anbi12d 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( ( x e. ( `' F " r ) /\ x e. ( `' G " s ) ) <-> ( ( F ` x ) e. r /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
30		elin 3259	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) <-> ( x e. ( `' F " r ) /\ x e. ( `' G " s ) ) )
31		opelxp 4569	. . . . . . . . 9 |- ( <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) <-> ( ( F ` x ) e. r /\ ( G ` x ) e. s ) )
32	29, 30, 31	3bitr4g 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) <-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) ) )
33	32	rabbi2dva 3284	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( W i^i ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) ) = { x e. W | <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) } )
34		inss1 3296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) C_ ( `' F " r )
35		cnvimass 4902	. . . . . . . . . 10 |- ( `' F " r ) C_ dom F
36	34, 35	sstri 3106	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) C_ dom F
37	36, 14	fssdm 5287	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) C_ W )
38		sseqin2 3295	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) C_ W <-> ( W i^i ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) ) = ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) )
39	37, 38	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( W i^i ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) ) = ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) )
40	33, 39	eqtr3d 2174	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> { x e. W | <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) } = ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) )
41	13, 40	syl5eq 2184	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( `' H " ( r X. s ) ) = ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) )
42		cntop1 12370	. . . . . . . 8 |- ( G e. ( U Cn S ) -> U e. Top )
43	42	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> U e. Top )
44	43	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> U e. Top )
45		cnima 12389	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ r e. R ) -> ( `' F " r ) e. U )
46	45	ad2ant2r 500	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( `' F " r ) e. U )
47		cnima 12389	. . . . . . 7 |- ( ( G e. ( U Cn S ) /\ s e. S ) -> ( `' G " s ) e. U )
48	47	ad2ant2l 499	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( `' G " s ) e. U )
49		inopn 12170	. . . . . 6 |- ( ( U e. Top /\ ( `' F " r ) e. U /\ ( `' G " s ) e. U ) -> ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) e. U )
50	44, 46, 48, 49	syl3anc 1216	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) e. U )
51	41, 50	eqeltrd 2216	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( `' H " ( r X. s ) ) e. U )
52	51	ralrimivva 2514	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> A. r e. R A. s e. S ( `' H " ( r X. s ) ) e. U )
53		vex 2689	. . . . . 6 |- r e. _V
54		vex 2689	. . . . . 6 |- s e. _V
55	53, 54	xpex 4654	. . . . 5 |- ( r X. s ) e. _V
56	55	rgen2w 2488	. . . 4 |- A. r e. R A. s e. S ( r X. s ) e. _V
57		eqid 2139	. . . . 5 |- ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) = ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) )
58		imaeq2 4877	. . . . . 6 |- ( z = ( r X. s ) -> ( `' H " z ) = ( `' H " ( r X. s ) ) )
59	58	eleq1d 2208	. . . . 5 |- ( z = ( r X. s ) -> ( ( `' H " z ) e. U <-> ( `' H " ( r X. s ) ) e. U ) )
60	57, 59	ralrnmpo 5885	. . . 4 |- ( A. r e. R A. s e. S ( r X. s ) e. _V -> ( A. z e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ( `' H " z ) e. U <-> A. r e. R A. s e. S ( `' H " ( r X. s ) ) e. U ) )
61	56, 60	ax-mp 5	. . 3 |- ( A. z e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ( `' H " z ) e. U <-> A. r e. R A. s e. S ( `' H " ( r X. s ) ) e. U )
62	52, 61	sylibr 133	. 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> A. z e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ( `' H " z ) e. U )
63	1	toptopon 12185	. . . 4 |- ( U e. Top <-> U e. (TopOn ` W ) )
64	43, 63	sylib 121	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> U e. (TopOn ` W ) )
65		cntop2 12371	. . . 4 |- ( F e. ( U Cn R ) -> R e. Top )
66		cntop2 12371	. . . 4 |- ( G e. ( U Cn S ) -> S e. Top )
67		eqid 2139	. . . . 5 |- ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) = ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) )
68	67	txval 12424	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) )
69	65, 66, 68	syl2an 287	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) )
70		toptopon2 12186	. . . . 5 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` U. R ) )
71	65, 70	sylib 121	. . . 4 |- ( F e. ( U Cn R ) -> R e. (TopOn ` U. R ) )
72		toptopon2 12186	. . . . 5 |- ( S e. Top <-> S e. (TopOn ` U. S ) )
73	66, 72	sylib 121	. . . 4 |- ( G e. ( U Cn S ) -> S e. (TopOn ` U. S ) )
74		txtopon 12431	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ S e. (TopOn ` U. S ) ) -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) )
75	71, 73, 74	syl2an 287	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) )
76	64, 69, 75	tgcn 12377	. 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( H e. ( U Cn ( R tX S ) ) <-> ( H : W --> ( U. R X. U. S ) /\ A. z e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ( `' H " z ) e. U ) ) )
77	12, 62, 76	mpbir2and 928	1 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> H e. ( U Cn ( R tX S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   {crab 2420   _Vcvv 2686   i^i cin 3070   C_ wss 3071   <.cop 3530   U.cuni 3736   |-> cmpt 3989   X. cxp 4537   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   ran crn 4540   "cima 4542   Fn wfn 5118   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776   topGenctg 12135   Topctop 12164  TopOnctopon 12177   Cn ccn 12354   tX ctx 12421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-topgen 12141  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-cn 12357  df-tx 12422

This theorem is referenced by:  uptx  12443  cnmpt1t  12454  cnmpt2t  12462