Theorem cnrest2r 12409

Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnrest2r	|- ( K e. Top -> ( J Cn ( K ↾t B ) ) C_ ( J Cn K ) )

Proof of Theorem cnrest2r

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) )
2		cntop2 12374	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
3	2	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( K ↾t B ) e. Top )
4		restrcl 12339	. . . . . . 7 |- ( ( K ↾t B ) e. Top -> ( K e. _V /\ B e. _V ) )
5		eqid 2139	. . . . . . . 8 |- U. K = U. K
6	5	restin 12348	. . . . . . 7 |- ( ( K e. _V /\ B e. _V ) -> ( K ↾t B ) = ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) )
7	3, 4, 6	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( K ↾t B ) = ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) )
8	7	oveq2d 5790	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( J Cn ( K ↾t B ) ) = ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) )
9	1, 8	eleqtrd 2218	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> f e. ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) )
10		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> K e. Top )
11	5	toptopon 12188	. . . . . 6 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
12	10, 11	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
13		cntop1 12373	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> J e. Top )
14	13	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> J e. Top )
15		eqid 2139	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
16	15	toptopon 12188	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
17	14, 16	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
18		inss2 3297	. . . . . . . 8 |- ( B i^i U. K ) C_ U. K
19		resttopon 12343	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( B i^i U. K ) C_ U. K ) -> ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) e. (TopOn ` ( B i^i U. K ) ) )
20	12, 18, 19	sylancl 409	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) e. (TopOn ` ( B i^i U. K ) ) )
21		cnf2 12377	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) e. (TopOn ` ( B i^i U. K ) ) /\ f e. ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) ) -> f : U. J --> ( B i^i U. K ) )
22	17, 20, 9, 21	syl3anc 1216	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> f : U. J --> ( B i^i U. K ) )
23	22	frnd 5282	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ran f C_ ( B i^i U. K ) )
24	18	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( B i^i U. K ) C_ U. K )
25		cnrest2 12408	. . . . 5 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ ran f C_ ( B i^i U. K ) /\ ( B i^i U. K ) C_ U. K ) -> ( f e. ( J Cn K ) <-> f e. ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) ) )
26	12, 23, 24, 25	syl3anc 1216	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> ( f e. ( J Cn K ) <-> f e. ( J Cn ( K ↾t ( B i^i U. K ) ) ) ) )
27	9, 26	mpbird 166	. . 3 |- ( ( K e. Top /\ f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) ) -> f e. ( J Cn K ) )
28	27	ex 114	. 2 |- ( K e. Top -> ( f e. ( J Cn ( K ↾t B ) ) -> f e. ( J Cn K ) ) )
29	28	ssrdv 3103	1 |- ( K e. Top -> ( J Cn ( K ↾t B ) ) C_ ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   i^i cin 3070   C_ wss 3071   U.cuni 3736   ran crn 4540   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ↾_t crest 12123   Topctop 12167  TopOnctopon 12180   Cn ccn 12357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-rest 12125  df-topgen 12144  df-top 12168  df-topon 12181  df-bases 12213  df-cn 12360

This theorem is referenced by:  cnrehmeocntop  12765