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Theorem cnptopresti 12407
Description: One direction of cnptoprest 12408 under the weaker condition that the point is in the subset rather than the interior of the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
cnptopresti |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) )
Proof of Theorem cnptopresti
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 518 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
2 toptopon2 12186 . . . . . 6 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
32biimpi 119 . . . . 5 |- ( K e. Top -> K e. (TopOn ` U. K ) )
43ad2antlr 480 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
5 simpr3 989 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
6 cnpf2 12376 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : X --> U. K )
71, 4, 5, 6syl3anc 1216 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> F : X --> U. K )
8 simpr1 987 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> A C_ X )
97, 8fssresd 5299 . 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( F |` A ) : A --> U. K )
10 simplr2 1024 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> P e. A )
11 fvres 5445 . . . . . 6 |- ( P e. A -> ( ( F |` A ) ` P ) = ( F ` P ) )
1210, 11syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> ( ( F |` A ) ` P ) = ( F ` P ) )
1312eleq1d 2208 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y <-> ( F ` P ) e. y ) )
141ad2antrr 479 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> J e. (TopOn ` X ) )
154ad2antrr 479 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
168ad2antrr 479 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> A C_ X )
17 simpr2 988 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> P e. A )
1817ad2antrr 479 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> P e. A )
1916, 18sseldd 3098 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> P e. X )
205ad2antrr 479 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
21 simplr 519 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> y e. K )
22 simpr 109 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> ( F ` P ) e. y )
23 icnpimaex 12380 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ P e. X ) /\ ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) )
2414, 15, 19, 20, 21, 22, 23syl33anc 1231 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) /\ ( F ` P ) e. y ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) )
2524ex 114 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
26 idd 21 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( P e. x -> P e. x ) )
2726, 17jctird 315 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( P e. x -> ( P e. x /\ P e. A ) ) )
28 elin 3259 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( x i^i A ) <-> ( P e. x /\ P e. A ) )
2927, 28syl6ibr 161 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( P e. x -> P e. ( x i^i A ) ) )
30 inss1 3296 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i A ) C_ x
31 imass2 4915 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x i^i A ) C_ x -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ ( F " x ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( F " ( x i^i A ) ) C_ ( F " x )
33 id 19 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F " x ) C_ y -> ( F " x ) C_ y )
3432, 33sstrid 3108 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F " x ) C_ y -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y )
3534a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( ( F " x ) C_ y -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) )
3629, 35anim12d 333 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> ( P e. ( x i^i A ) /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
3736reximdv 2533 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. x e. J ( P e. ( x i^i A ) /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
38 vex 2689 . . . . . . . . . 10 |- x e. _V
3938inex1 4062 . . . . . . . . 9 |- ( x i^i A ) e. _V
4039a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ x e. J ) -> ( x i^i A ) e. _V )
41 topontop 12181 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
4241ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> J e. Top )
43 uniexg 4361 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> U. J e. _V )
45 toponuni 12182 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
4645sseq2d 3127 . . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A C_ X <-> A C_ U. J ) )
4746ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( A C_ X <-> A C_ U. J ) )
488, 47mpbid 146 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> A C_ U. J )
4944, 48ssexd 4068 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> A e. _V )
50 elrest 12127 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ A e. _V ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. x e. J z = ( x i^i A ) ) )
5142, 49, 50syl2anc 408 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. x e. J z = ( x i^i A ) ) )
52 simpr 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> z = ( x i^i A ) )
5352eleq2d 2209 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( P e. z <-> P e. ( x i^i A ) ) )
5452imaeq2d 4881 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( F |` A ) " z ) = ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) )
55 inss2 3297 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i A ) C_ A
56 resima2 4853 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x i^i A ) C_ A -> ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) = ( F " ( x i^i A ) ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) = ( F " ( x i^i A ) )
5854, 57syl6eq 2188 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( F |` A ) " z ) = ( F " ( x i^i A ) ) )
5958sseq1d 3126 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( ( F |` A ) " z ) C_ y <-> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) )
6053, 59anbi12d 464 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) <-> ( P e. ( x i^i A ) /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
6140, 51, 60rexxfr2d 4386 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. ( x i^i A ) /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
6237, 61sylibrd 168 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
6362adantr 274 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
6425, 63syld 45 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> ( ( F ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
6513, 64sylbid 149 . . 3 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) /\ y e. K ) -> ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
6665ralrimiva 2505 . 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
67 resttopon 12340 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
681, 8, 67syl2anc 408 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
69 iscnp 12368 . . 3 |- ( ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ P e. A ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) <-> ( ( F |` A ) : A --> U. K /\ A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) ) )
7068, 4, 17, 69syl3anc 1216 . 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) <-> ( ( F |` A ) : A --> U. K /\ A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) ) )
719, 66, 70mpbir2and 928 1 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top ) /\ ( A C_ X /\ P e. A /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) ) -> ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   i^i cin 3070   C_ wss 3071   U.cuni 3736   |` cres 4541   "cima 4542   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ↾t crest 12120   Topctop 12164  TopOnctopon 12177   CnP ccnp 12355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-rest 12122  df-topgen 12141  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-cnp 12358
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