Theorem djudomr 7076

Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudomr	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B ~<_ ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djudomr

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inr 6933	. . . . 5 |- inr = ( x e. _V |-> <. 1o , x >. )
2	1	funmpt2 5162	. . . 4 |- Fun inr
3		simpr 109	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B e. W )
4		resfunexg 5641	. . . 4 |- ( ( Fun inr /\ B e. W ) -> (inr |` B ) e. _V )
5	2, 3, 4	sylancr 410	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (inr |` B ) e. _V )
6		inrresf1 6947	. . 3 |- (inr |` B ) : B -1-1-> ( A ⊔ B )
7		f1eq1 5323	. . . 4 |- ( f = (inr |` B ) -> ( f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) <-> (inr |` B ) : B -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
8	7	spcegv 2774	. . 3 |- ( (inr |` B ) e. _V -> ( (inr |` B ) : B -1-1-> ( A ⊔ B ) -> E. f f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
9	5, 6, 8	mpisyl 1422	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> E. f f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) )
10		djuex 6928	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) e. _V )
11		brdomg 6642	. . 3 |- ( ( A ⊔ B ) e. _V -> ( B ~<_ ( A ⊔ B ) <-> E. f f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( B ~<_ ( A ⊔ B ) <-> E. f f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
13	9, 12	mpbird 166	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B ~<_ ( A ⊔ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   <.cop 3530   class class class wbr 3929   |` cres 4541   Fun wfun 5117   -1-1->wf1 5120   1oc1o 6306   ~<_ cdom 6633   ⊔ cdju 6922  inrcinr 6931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-1o 6313  df-dom 6636  df-dju 6923  df-inr 6933

This theorem is referenced by:  sbthom  13221