Theorem djuex 6928

Description: The disjoint union of sets is a set. See also the more precise djuss 6955. (Contributed by AV, 28-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djuex	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) e. _V )

Proof of Theorem djuex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 6923	. 2 |- ( A ⊔ B ) = ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) )
2		p0ex 4112	. . . . . . 7 |- { (/) } e. _V
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( B e. W -> { (/) } e. _V )
4	3	anim1i 338	. . . . 5 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( { (/) } e. _V /\ A e. V ) )
5	4	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { (/) } e. _V /\ A e. V ) )
6		xpexg 4653	. . . 4 |- ( ( { (/) } e. _V /\ A e. V ) -> ( { (/) } X. A ) e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { (/) } X. A ) e. _V )
8		1on 6320	. . . . . . 7 |- 1o e. On
9	8	elexi 2698	. . . . . 6 |- 1o e. _V
10	9	snex 4109	. . . . 5 |- { 1o } e. _V
11	10	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. V -> { 1o } e. _V )
12		xpexg 4653	. . . 4 |- ( ( { 1o } e. _V /\ B e. W ) -> ( { 1o } X. B ) e. _V )
13	11, 12	sylan 281	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { 1o } X. B ) e. _V )
14		unexg 4364	. . 3 |- ( ( ( { (/) } X. A ) e. _V /\ ( { 1o } X. B ) e. _V ) -> ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) e. _V )
15	7, 13, 14	syl2anc 408	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( { (/) } X. A ) u. ( { 1o } X. B ) ) e. _V )
16	1, 15	eqeltrid 2226	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   u. cun 3069   (/)c0 3363   {csn 3527   Oncon0 4285   X. cxp 4537   1oc1o 6306   ⊔ cdju 6922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-opab 3990  df-tr 4027  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-xp 4545  df-1o 6313  df-dju 6923

This theorem is referenced by:  djuexb  6929  updjud  6967  djudom  6978  exmidfodomrlemr  7058  exmidfodomrlemrALT  7059  djudoml  7075  djudomr  7076  exmidsbthrlem  13220  sbthom  13224