ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmsn0el Unicode version

Theorem dmsn0el 4820
Description: The domain of a singleton is empty if the singleton's argument contains the empty set. (Contributed by NM, 15-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
dmsn0el  |-  ( (/)  e.  A  ->  dom  { A }  =  (/) )

Proof of Theorem dmsn0el
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nelelxp 4399 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( _V  X.  _V )  ->  -.  (/)  e.  A
)
21con2i 590 . . . 4  |-  ( (/)  e.  A  ->  -.  A  e.  ( _V  X.  _V ) )
3 dmsnm 4816 . . . 4  |-  ( A  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x  x  e. 
dom  { A } )
42, 3sylnib 634 . . 3  |-  ( (/)  e.  A  ->  -.  E. x  x  e.  dom  { A } )
5 alnex 1429 . . 3  |-  ( A. x  -.  x  e.  dom  { A }  <->  -.  E. x  x  e.  dom  { A } )
64, 5sylibr 132 . 2  |-  ( (/)  e.  A  ->  A. x  -.  x  e.  dom  { A } )
7 eq0 3273 . 2  |-  ( dom 
{ A }  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e. 
dom  { A } )
86, 7sylibr 132 1  |-  ( (/)  e.  A  ->  dom  { A }  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1283    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   _Vcvv 2602   (/)c0 3258   {csn 3406    X. cxp 4369   dom cdm 4371
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-dm 4381
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator