ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsdivcl Unicode version

Theorem dvdsdivcl 10442
Description: The complement of a divisor of  N is also a divisor of  N. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 9-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
dvdsdivcl  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
Distinct variable groups:    x, A    x, N

Proof of Theorem dvdsdivcl
StepHypRef Expression
1 breq1 3809 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ||  N  <->  A  ||  N
) )
21elrab 2758 . . . 4  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( A  e.  NN  /\  A  ||  N ) )
3 nndivdvds 10393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( A  ||  N  <->  ( N  /  A )  e.  NN ) )
43biimpd 142 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( A  ||  N  ->  ( N  /  A
)  e.  NN ) )
54expcom 114 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  ( N  e.  NN  ->  ( A  ||  N  -> 
( N  /  A
)  e.  NN ) ) )
65com23 77 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  ||  N  ->  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  A )  e.  NN ) ) )
76imp 122 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  ||  N )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( N  /  A
)  e.  NN ) )
8 nnne0 8170 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
98anim1i 333 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  ||  N )  -> 
( A  =/=  0  /\  A  ||  N ) )
109ancomd 263 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  ||  N )  -> 
( A  ||  N  /\  A  =/=  0
) )
11 divconjdvds 10441 . . . . . 6  |-  ( ( A  ||  N  /\  A  =/=  0 )  -> 
( N  /  A
)  ||  N )
1210, 11syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  ||  N )  -> 
( N  /  A
)  ||  N )
137, 12jctird 310 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  ||  N )  -> 
( N  e.  NN  ->  ( ( N  /  A )  e.  NN  /\  ( N  /  A
)  ||  N )
) )
142, 13sylbi 119 . . 3  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  A
)  e.  NN  /\  ( N  /  A
)  ||  N )
) )
1514impcom 123 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  (
( N  /  A
)  e.  NN  /\  ( N  /  A
)  ||  N )
)
16 breq1 3809 . . 3  |-  ( x  =  ( N  /  A )  ->  (
x  ||  N  <->  ( N  /  A )  ||  N
) )
1716elrab 2758 . 2  |-  ( ( N  /  A )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( ( N  /  A )  e.  NN  /\  ( N  /  A )  ||  N ) )
1815, 17sylibr 132 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  A )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1434    =/= wne 2249   {crab 2357   class class class wbr 3806  (class class class)co 5564   0cc0 7079    / cdiv 7863   NNcn 8142    || cdvds 10387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-mulrcl 7173  ax-addcom 7174  ax-mulcom 7175  ax-addass 7176  ax-mulass 7177  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-1rid 7181  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-precex 7184  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-apti 7189  ax-pre-ltadd 7190  ax-pre-mulgt0 7191  ax-pre-mulext 7192
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-reap 7778  df-ap 7785  df-div 7864  df-inn 8143  df-n0 8392  df-z 8469  df-dvds 10388
This theorem is referenced by:  dvdsflip  10443
  Copyright terms: Public domain W3C validator