Theorem nnne0 8751

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	|- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 8750	. . 3 |- -. 0 e. NN
2		eleq1 2202	. . 3 |- ( A = 0 -> ( A e. NN <-> 0 e. NN ) )
3	1, 2	mtbiri 664	. 2 |- ( A = 0 -> -. A e. NN )
4	3	necon2ai 2362	1 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   0cc0 7623   NNcn 8723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1re 7717  ax-addrcl 7720  ax-0lt1 7729  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-ltadd 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-inn 8724

This theorem is referenced by:  nnne0d  8768  divfnzn  9416  qreccl  9437  fzo1fzo0n0  9963  expnnval  10299  expnegap0  10304  hashnncl  10545  ef0lem  11369  dvdsval3  11500  nndivdvds  11502  modmulconst  11528  dvdsdivcl  11551  divalg2  11626  ndvdssub  11630  nndvdslegcd  11657  divgcdz  11663  divgcdnn  11666  gcdzeq  11713  eucalgf  11739  eucalginv  11740  lcmgcdlem  11761  qredeu  11781  cncongr1  11787  cncongr2  11788  divnumden  11877  divdenle  11878  phimullem  11904  hashgcdlem  11906  ennnfonelemjn  11918  dvexp2  12848