Theorem nndivdvds 10393

Description: Strong form of dvdsval2 10390 for positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nndivdvds	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B || A <-> ( A / B ) e. NN ) )

Proof of Theorem nndivdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 8487	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
2	1	adantl 271	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. ZZ )
3		nnne0 8170	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B =/= 0 )
4	3	adantl 271	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B =/= 0 )
5		nnz 8487	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
6	5	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. ZZ )
7		dvdsval2 10390	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ B =/= 0 /\ A e. ZZ ) -> ( B || A <-> ( A / B ) e. ZZ ) )
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1170	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B || A <-> ( A / B ) e. ZZ ) )
9	8	anbi1d 453	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( B || A /\ 0 < ( A / B ) ) <-> ( ( A / B ) e. ZZ /\ 0 < ( A / B ) ) ) )
10		nnre 8149	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. RR )
11	10	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. RR )
12		nnre 8149	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. RR )
13	12	adantl 271	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. RR )
14		nngt0 8167	. . . . 5 |- ( A e. NN -> 0 < A )
15	14	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < A )
16		nngt0 8167	. . . . 5 |- ( B e. NN -> 0 < B )
17	16	adantl 271	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < B )
18	11, 13, 15, 17	divgt0d 8116	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < ( A / B ) )
19	18	biantrud 298	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B || A <-> ( B || A /\ 0 < ( A / B ) ) ) )
20		elnnz 8478	. . 3 |- ( ( A / B ) e. NN <-> ( ( A / B ) e. ZZ /\ 0 < ( A / B ) ) )
21	20	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) e. NN <-> ( ( A / B ) e. ZZ /\ 0 < ( A / B ) ) ) )
22	9, 19, 21	3bitr4d 218	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( B || A <-> ( A / B ) e. NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1434   =/= wne 2249   class class class wbr 3806  (class class class)co 5564   RRcr 7078   0cc0 7079   < clt 7251   / cdiv 7863   NNcn 8142   ZZcz 8468   || cdvds 10387

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-mulrcl 7173  ax-addcom 7174  ax-mulcom 7175  ax-addass 7176  ax-mulass 7177  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-1rid 7181  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-precex 7184  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-apti 7189  ax-pre-ltadd 7190  ax-pre-mulgt0 7191  ax-pre-mulext 7192

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-reap 7778  df-ap 7785  df-div 7864  df-inn 8143  df-n0 8392  df-z 8469  df-dvds 10388

This theorem is referenced by:  nndivides  10394  dvdsdivcl  10442  divgcdnn  10557  lcmgcdlem  10650  isprm6  10717  oddpwdclemodd  10741  oddpwdclemdc  10742  divnumden  10765  hashgcdlem  10794  hashgcdeq  10795