ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsflip Unicode version

Theorem dvdsflip 10396
Description: An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsflip.a  |-  A  =  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
dvdsflip.f  |-  F  =  ( y  e.  A  |->  ( N  /  y
) )
Assertion
Ref Expression
dvdsflip  |-  ( N  e.  NN  ->  F : A -1-1-onto-> A )
Distinct variable groups:    y, A    x, y, N
Allowed substitution hints:    A( x)    F( x, y)

Proof of Theorem dvdsflip
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsflip.f . 2  |-  F  =  ( y  e.  A  |->  ( N  /  y
) )
2 dvdsflip.a . . . . 5  |-  A  =  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
32eleq2i 2146 . . . 4  |-  ( y  e.  A  <->  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
4 dvdsdivcl 10395 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  y )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
53, 4sylan2b 281 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  A )  ->  ( N  /  y
)  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
65, 2syl6eleqr 2173 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  y  e.  A )  ->  ( N  /  y
)  e.  A )
72eleq2i 2146 . . . 4  |-  ( z  e.  A  <->  z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
8 dvdsdivcl 10395 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  z )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
97, 8sylan2b 281 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  A )  ->  ( N  /  z
)  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )
109, 2syl6eleqr 2173 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  A )  ->  ( N  /  z
)  e.  A )
11 ssrab2 3080 . . . . . . 7  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  NN
122, 11eqsstri 3030 . . . . . 6  |-  A  C_  NN
1312sseli 2996 . . . . 5  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  NN )
1412sseli 2996 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  NN )
1513, 14anim12i 331 . . . 4  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )
16 nncn 8114 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
1716adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  N  e.  CC )
18 nncn 8114 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
1918ad2antrl 474 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  y  e.  CC )
20 nncn 8114 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  CC )
2120ad2antll 475 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  z  e.  CC )
22 simprr 499 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  z  e.  NN )
2322nnap0d 8151 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  z #  0
)
2417, 19, 21, 23divmulap3d 7978 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  ( ( N  /  z )  =  y  <->  N  =  (
y  x.  z ) ) )
25 simprl 498 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  y  e.  NN )
2625nnap0d 8151 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  y #  0
)
2717, 21, 19, 26divmulap2d 7977 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  ( ( N  /  y )  =  z  <->  N  =  (
y  x.  z ) ) )
2824, 27bitr4d 189 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )  ->  ( ( N  /  z )  =  y  <->  ( N  / 
y )  =  z ) )
2915, 28sylan2 280 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( N  /  z
)  =  y  <->  ( N  /  y )  =  z ) )
30 eqcom 2084 . . 3  |-  ( y  =  ( N  / 
z )  <->  ( N  /  z )  =  y )
31 eqcom 2084 . . 3  |-  ( z  =  ( N  / 
y )  <->  ( N  /  y )  =  z )
3229, 30, 313bitr4g 221 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  =  ( N  /  z )  <->  z  =  ( N  /  y
) ) )
331, 6, 10, 32f1o2d 5736 1  |-  ( N  e.  NN  ->  F : A -1-1-onto-> A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   {crab 2353   class class class wbr 3793    |-> cmpt 3847   -1-1-onto->wf1o 4931  (class class class)co 5543   CCcc 7041    x. cmul 7048    / cdiv 7827   NNcn 8106    || cdvds 10340
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-dvds 10341
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator