Theorem elrestr 12131

Description: Sufficient condition for being an open set in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elrestr	|- ( ( J e. V /\ S e. W /\ A e. J ) -> ( A i^i S ) e. ( J ↾t S ) )

Proof of Theorem elrestr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2139	. . . 4 |- ( A i^i S ) = ( A i^i S )
2		ineq1 3270	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x i^i S ) = ( A i^i S ) )
3	2	rspceeqv 2807	. . . 4 |- ( ( A e. J /\ ( A i^i S ) = ( A i^i S ) ) -> E. x e. J ( A i^i S ) = ( x i^i S ) )
4	1, 3	mpan2 421	. . 3 |- ( A e. J -> E. x e. J ( A i^i S ) = ( x i^i S ) )
5		elrest 12130	. . 3 |- ( ( J e. V /\ S e. W ) -> ( ( A i^i S ) e. ( J ↾t S ) <-> E. x e. J ( A i^i S ) = ( x i^i S ) ) )
6	4, 5	syl5ibr 155	. 2 |- ( ( J e. V /\ S e. W ) -> ( A e. J -> ( A i^i S ) e. ( J ↾t S ) ) )
7	6	3impia 1178	1 |- ( ( J e. V /\ S e. W /\ A e. J ) -> ( A i^i S ) e. ( J ↾t S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   i^i cin 3070  (class class class)co 5774   ↾_t crest 12123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-rest 12125

This theorem is referenced by:  restbasg  12340  tgrest  12341  resttopon  12343  cnrest  12407  lmss  12418