Theorem elrest 12127

Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elrest	|- ( ( J e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( J ↾t B ) <-> E. x e. J A = ( x i^i B ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, J

Allowed substitution hints:   V( x)   W( x)

Proof of Theorem elrest

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restval 12126	. . 3 |- ( ( J e. V /\ B e. W ) -> ( J ↾t B ) = ran ( x e. J |-> ( x i^i B ) ) )
2	1	eleq2d 2209	. 2 |- ( ( J e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( J ↾t B ) <-> A e. ran ( x e. J |-> ( x i^i B ) ) ) )
3		eqid 2139	. . 3 |- ( x e. J |-> ( x i^i B ) ) = ( x e. J |-> ( x i^i B ) )
4		vex 2689	. . . 4 |- x e. _V
5	4	inex1 4062	. . 3 |- ( x i^i B ) e. _V
6	3, 5	elrnmpti 4792	. 2 |- ( A e. ran ( x e. J |-> ( x i^i B ) ) <-> E. x e. J A = ( x i^i B ) )
7	2, 6	syl6bb 195	1 |- ( ( J e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( J ↾t B ) <-> E. x e. J A = ( x i^i B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   i^i cin 3070   |-> cmpt 3989   ran crn 4540  (class class class)co 5774   ↾_t crest 12120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-rest 12122

This theorem is referenced by:  elrestr  12128  restsspw  12130  restbasg  12337  restsn  12349  restopnb  12350  ssrest  12351  cnrest2  12405  cnptopresti  12407  cnptoprest  12408  cnptoprest2  12409  lmss  12415  txrest  12445  metrest  12675