Theorem eluni2 3740

Description: Membership in class union. Restricted quantifier version. (Contributed by NM, 31-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
eluni2	|- ( A e. U. B <-> E. x e. B A e. x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem eluni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exancom 1587	. 2 |- ( E. x ( A e. x /\ x e. B ) <-> E. x ( x e. B /\ A e. x ) )
2		eluni 3739	. 2 |- ( A e. U. B <-> E. x ( A e. x /\ x e. B ) )
3		df-rex 2422	. 2 |- ( E. x e. B A e. x <-> E. x ( x e. B /\ A e. x ) )
4	1, 2, 3	3bitr4i 211	1 |- ( A e. U. B <-> E. x e. B A e. x )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1468   e. wcel 1480   E.wrex 2417   U.cuni 3736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422  df-v 2688  df-uni 3737

This theorem is referenced by:  uni0b  3761  intssunim  3793  iuncom4  3820  inuni  4080  ssorduni  4403  unon  4427  cnvuni  4725  chfnrn  5531  isbasis3g  12213  eltg2b  12223  tgcl  12233  epttop  12259  txuni2  12425