Theorem fmptsn 5609

Description: Express a singleton function in maps-to notation. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmptsn	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   V( x)   W( x)

Proof of Theorem fmptsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 4586	. 2 |- ( { A } X. { B } ) = ( x e. { A } |-> B )
2		xpsng 5595	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. } )
3	1, 2	syl5reqr 2187	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   {csn 3527   <.cop 3530   |-> cmpt 3989   X. cxp 4537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130

This theorem is referenced by:  fmptap  5610  fmptapd  5611