Theorem fnn0nninf 10213

Description: A function from NN0 into ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fnn0nninf	|- ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞

Distinct variable group:   i, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)

Proof of Theorem fnn0nninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.f	. . 3 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
2		nnnninf 7023	. . 3 |- ( n e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
3	1, 2	fmpti 5572	. 2 |- F : om -->ℕ∞
4		fxnn0nninf.g	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
5	4	frechashgf1o 10204	. . 3 |- G : om -1-1-onto-> NN0
6		f1ocnv 5380	. . 3 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
7		f1of 5367	. . 3 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
8	5, 6, 7	mp2b 8	. 2 |- `' G : NN0 --> om
9		fco 5288	. 2 |- ( ( F : om -->ℕ∞ /\ `' G : NN0 --> om ) -> ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞ )
10	3, 8, 9	mp2an 422	1 |- ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞

Syntax hints:   = wceq 1331   (/)c0 3363   ifcif 3474   |-> cmpt 3989   omcom 4504   `'ccnv 4538   o. ccom 4543   -->wf 5119   -1-1-onto->wf1o 5122  (class class class)co 5774  freccfrec 6287   1oc1o 6306  ℕ_∞xnninf 7005   0cc0 7623   1c1 7624   + caddc 7626   NN0cn0 8980   ZZcz 9057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-addcom 7723  ax-addass 7725  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-ltadd 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-2o 6314  df-map 6544  df-nninf 7007  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-inn 8724  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330

This theorem is referenced by:  fxnn0nninf  10214  inftonninf  10217