Theorem inftonninf 10217

Description: The mapping of +oo into ℕ_∞ is the sequence of all ones. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
fxnn0nninf.i	|- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
inftonninf	|- ( I ` +oo ) = ( x e. om |-> 1o )

Distinct variable group:   i, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)   I( x, i, n)

Proof of Theorem inftonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . 3 |- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
2	1	fveq1i 5422	. 2 |- ( I ` +oo ) = ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` +oo )
3		pnf0xnn0 9050	. . 3 |- +oo e. NN0*
4		omex 4507	. . . 4 |- om e. _V
5		1oex 6321	. . . . 5 |- 1o e. _V
6	5	snex 4109	. . . 4 |- { 1o } e. _V
7	4, 6	xpex 4654	. . 3 |- ( om X. { 1o } ) e. _V
8		pnfnre 7810	. . . . . 6 |- +oo e/ RR
9	8	neli 2405	. . . . 5 |- -. +oo e. RR
10		nn0re 8989	. . . . 5 |- ( +oo e. NN0 -> +oo e. RR )
11	9, 10	mto 651	. . . 4 |- -. +oo e. NN0
12		fxnn0nninf.g	. . . . . . 7 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
13		fxnn0nninf.f	. . . . . . 7 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
14	12, 13	fnn0nninf 10213	. . . . . 6 |- ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞
15	14	fdmi 5280	. . . . 5 |- dom ( F o. `' G ) = NN0
16	15	eleq2i 2206	. . . 4 |- ( +oo e. dom ( F o. `' G ) <-> +oo e. NN0 )
17	11, 16	mtbir 660	. . 3 |- -. +oo e. dom ( F o. `' G )
18		fsnunfv 5621	. . 3 |- ( ( +oo e. NN0* /\ ( om X. { 1o } ) e. _V /\ -. +oo e. dom ( F o. `' G ) ) -> ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` +oo ) = ( om X. { 1o } ) )
19	3, 7, 17, 18	mp3an 1315	. 2 |- ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` +oo ) = ( om X. { 1o } )
20		fconstmpt 4586	. 2 |- ( om X. { 1o } ) = ( x e. om |-> 1o )
21	2, 19, 20	3eqtri 2164	1 |- ( I ` +oo ) = ( x e. om |-> 1o )

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   u. cun 3069   (/)c0 3363   ifcif 3474   {csn 3527   <.cop 3530   |-> cmpt 3989   omcom 4504   X. cxp 4537   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   o. ccom 4543   ` cfv 5123  (class class class)co 5774  freccfrec 6287   1oc1o 6306  ℕ_∞xnninf 7005   RRcr 7622   0cc0 7623   1c1 7624   + caddc 7626   +oocpnf 7800   NN0cn0 8980  NN0*cxnn0 9043   ZZcz 9057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-addcom 7723  ax-addass 7725  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-ltadd 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-2o 6314  df-map 6544  df-nninf 7007  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-inn 8724  df-n0 8981  df-xnn0 9044  df-z 9058  df-uz 9330

This theorem is referenced by: (None)