ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fo00 Unicode version

Theorem fo00 5193
Description: Onto mapping of the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
fo00  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )

Proof of Theorem fo00
StepHypRef Expression
1 fofn 5139 . . . . . 6  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  F  Fn  (/) )
2 fn0 5049 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  (/)  <->  F  =  (/) )
3 f10 5191 . . . . . . . 8  |-  (/) : (/) -1-1-> A
4 f1eq1 5118 . . . . . . . 8  |-  ( F  =  (/)  ->  ( F : (/) -1-1-> A  <->  (/) : (/) -1-1-> A ) )
53, 4mpbiri 166 . . . . . . 7  |-  ( F  =  (/)  ->  F : (/) -1-1->
A )
62, 5sylbi 119 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  (/)  ->  F : (/) -1-1->
A )
71, 6syl 14 . . . . 5  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  F : (/) -1-1->
A )
87ancri 317 . . . 4  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  ( F : (/) -1-1-> A  /\  F : (/)
-onto-> A ) )
9 df-f1o 4939 . . . 4  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A 
<->  ( F : (/) -1-1-> A  /\  F : (/) -onto-> A ) )
108, 9sylibr 132 . . 3  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  F : (/) -1-1-onto-> A )
11 f1ofo 5164 . . 3  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A  ->  F : (/) -onto-> A )
1210, 11impbii 124 . 2  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  F : (/) -1-1-onto-> A )
13 f1o00 5192 . 2  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A 
<->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
1412, 13bitri 182 1  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285   (/)c0 3258    Fn wfn 4927   -1-1->wf1 4929   -onto->wfo 4930   -1-1-onto->wf1o 4931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator