ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fornex Unicode version

Theorem fornex 5794
Description: If the domain of an onto function exists, so does its codomain. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
fornex  |-  ( A  e.  C  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  e.  _V )
)

Proof of Theorem fornex
StepHypRef Expression
1 fofun 5159 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  Fun  F )
2 funrnex 5793 . . . 4  |-  ( dom 
F  e.  C  -> 
( Fun  F  ->  ran 
F  e.  _V )
)
31, 2syl5com 29 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( dom  F  e.  C  ->  ran  F  e.  _V ) )
4 fof 5158 . . . . 5  |-  ( F : A -onto-> B  ->  F : A --> B )
5 fdm 5101 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
64, 5syl 14 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  dom  F  =  A )
76eleq1d 2151 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( dom  F  e.  C 
<->  A  e.  C ) )
8 forn 5161 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
98eleq1d 2151 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( ran  F  e.  _V 
<->  B  e.  _V )
)
103, 7, 93imtr3d 200 . 2  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A  e.  C  ->  B  e.  _V )
)
1110com12 30 1  |-  ( A  e.  C  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  e.  _V )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1285    e. wcel 1434   _Vcvv 2610   dom cdm 4391   ran crn 4392   Fun wfun 4946   -->wf 4948   -onto->wfo 4950
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960
This theorem is referenced by:  f1dmex  5795  f1oeng  6326
  Copyright terms: Public domain W3C validator