Theorem fssresd 5299

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fssresd.1	|- ( ph -> F : A --> B )
fssresd.2	|- ( ph -> C C_ A )

Assertion

Ref	Expression
fssresd	|- ( ph -> ( F |` C ) : C --> B )

Proof of Theorem fssresd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssresd.1	. 2 |- ( ph -> F : A --> B )
2		fssresd.2	. 2 |- ( ph -> C C_ A )
3		fssres 5298	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C --> B )
4	1, 2, 3	syl2anc 408	1 |- ( ph -> ( F |` C ) : C --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   C_ wss 3071   |` cres 4541   -->wf 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127

This theorem is referenced by:  cnrest  12409  cnptopresti  12412  cnptoprest  12413  psmetres2  12507  xmetres2  12553  metres2  12555  xmetresbl  12614  rescncf  12742  trilpolemlt1  13239