Theorem xmetres2 12551

Description: Restriction of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetres2	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` R ) )

Proof of Theorem xmetres2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetrel 12515	. . . . 5 |- Rel *Met
2		relelfvdm 5453	. . . . 5 |- ( ( Rel *Met /\ D e. ( *Met ` X ) ) -> X e. dom *Met )
3	1, 2	mpan 420	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
4	3	adantr 274	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> X e. dom *Met )
5		simpr 109	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> R C_ X )
6	4, 5	ssexd 4068	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> R e. _V )
7		xmetf 12522	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
8	7	adantr 274	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
9		xpss12 4646	. . . 4 |- ( ( R C_ X /\ R C_ X ) -> ( R X. R ) C_ ( X X. X ) )
10	5, 9	sylancom 416	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( R X. R ) C_ ( X X. X ) )
11	8, 10	fssresd 5299	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) : ( R X. R ) --> RR* )
12		ovres 5910	. . . . 5 |- ( ( x e. R /\ y e. R ) -> ( x ( D |` ( R X. R ) ) y ) = ( x D y ) )
13	12	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> ( x ( D |` ( R X. R ) ) y ) = ( x D y ) )
14	13	eqeq1d 2148	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> ( ( x ( D |` ( R X. R ) ) y ) = 0 <-> ( x D y ) = 0 ) )
15		simpll 518	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
16		simplr 519	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> R C_ X )
17		simprl 520	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> x e. R )
18	16, 17	sseldd 3098	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> x e. X )
19		simprr 521	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> y e. R )
20	16, 19	sseldd 3098	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> y e. X )
21		xmeteq0 12531	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
22	15, 18, 20, 21	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
23	14, 22	bitrd 187	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R ) ) -> ( ( x ( D |` ( R X. R ) ) y ) = 0 <-> x = y ) )
24		simpll 518	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
25		simplr 519	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> R C_ X )
26		simpr3 989	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> z e. R )
27	25, 26	sseldd 3098	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> z e. X )
28	18	3adantr3 1142	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> x e. X )
29	20	3adantr3 1142	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> y e. X )
30		xmettri2 12533	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( z e. X /\ x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
31	24, 27, 28, 29, 30	syl13anc 1218	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
32	13	3adantr3 1142	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> ( x ( D |` ( R X. R ) ) y ) = ( x D y ) )
33		simpr1 987	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> x e. R )
34	26, 33	ovresd 5911	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> ( z ( D |` ( R X. R ) ) x ) = ( z D x ) )
35		simpr2 988	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> y e. R )
36	26, 35	ovresd 5911	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> ( z ( D |` ( R X. R ) ) y ) = ( z D y ) )
37	34, 36	oveq12d 5792	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> ( ( z ( D |` ( R X. R ) ) x ) +e ( z ( D |` ( R X. R ) ) y ) ) = ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
38	31, 32, 37	3brtr4d 3960	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) /\ ( x e. R /\ y e. R /\ z e. R ) ) -> ( x ( D |` ( R X. R ) ) y ) <_ ( ( z ( D |` ( R X. R ) ) x ) +e ( z ( D |` ( R X. R ) ) y ) ) )
39	6, 11, 23, 38	isxmetd 12519	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. ( *Met ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   C_ wss 3071   class class class wbr 3929   X. cxp 4537   dom cdm 4539   |` cres 4541   Rel wrel 4544   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   0cc0 7623   RR*cxr 7802   <_ cle 7804   +ecxad 9560   *Metcxmet 12152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-xmet 12160

This theorem is referenced by:  metres2  12553  xmetres  12554  xmetresbl  12612  metrest  12678  divcnap  12727  cncfmet  12751  limcimolemlt  12805  cnplimcim  12808  cnplimclemr  12810  limccnpcntop  12816  limccnp2cntop  12818