Theorem fvtp1g 5628

Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvtp1g	|- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` A ) = D )

Proof of Theorem fvtp1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3535	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } )
2	1	fveq1i 5422	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` A ) = ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A )
3		necom 2392	. . . . 5 |- ( A =/= C <-> C =/= A )
4		fvunsng 5614	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ C =/= A ) -> ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A ) = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) )
5	3, 4	sylan2b 285	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A =/= C ) -> ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A ) = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) )
6	5	ad2ant2rl 502	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A ) = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) )
7		fvpr1g 5626	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ D e. W /\ A =/= B ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) = D )
8	7	3expa 1181	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ A =/= B ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) = D )
9	8	adantrr 470	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. } ` A ) = D )
10	6, 9	eqtrd 2172	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) ` A ) = D )
11	2, 10	syl5eq 2184	1 |- ( ( ( A e. V /\ D e. W ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C ) ) -> ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } ` A ) = D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   u. cun 3069   {csn 3527   {cpr 3528   {ctp 3529   <.cop 3530   ` cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-tp 3535  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131

This theorem is referenced by:  fvtp2g  5629  fvtp1  5631