Theorem fztri3or 9211

Description: Trichotomy in terms of a finite interval of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fztri3or	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )

Proof of Theorem fztri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3mix1 1108	. . 3 |- ( K < M -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
2	1	adantl 271	. 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < M ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
3		3mix3 1110	. . . 4 |- ( N < K -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
4	3	adantl 271	. . 3 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ N < K ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
5		simpr 108	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> -. K < M )
6		simpl2 943	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> M e. ZZ )
7	6	zred 8627	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> M e. RR )
8		simpl1 942	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> K e. ZZ )
9	8	zred 8627	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> K e. RR )
10	7, 9	lenltd 7371	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> ( M <_ K <-> -. K < M ) )
11	5, 10	mpbird 165	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> M <_ K )
12	11	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> M <_ K )
13		simpr 108	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> -. N < K )
14	9	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> K e. RR )
15		simpll3 980	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> N e. ZZ )
16	15	zred 8627	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> N e. RR )
17	14, 16	lenltd 7371	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> ( K <_ N <-> -. N < K ) )
18	13, 17	mpbird 165	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> K <_ N )
19		elfz 9188	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
20	19	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
21	20	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
22	12, 18, 21	mpbir2and 886	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> K e. ( M ... N ) )
23	22	3mix2d 1115	. . 3 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) /\ -. N < K ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
24		zdclt 8583	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> DECID N < K )
25	24	ancoms 264	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < K )
26	25	3adant2 958	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < K )
27	26	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> DECID N < K )
28		df-dc 777	. . . 4 |- (DECID N < K <-> ( N < K \/ -. N < K ) )
29	27, 28	sylib 120	. . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> ( N < K \/ -. N < K ) )
30	4, 23, 29	mpjaodan 745	. 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. K < M ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )
31		zdclt 8583	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID K < M )
32	31	3adant3 959	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID K < M )
33		df-dc 777	. . 3 |- (DECID K < M <-> ( K < M \/ -. K < M ) )
34	32, 33	sylib 120	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M \/ -. K < M ) )
35	2, 30, 34	mpjaodan 745	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M \/ K e. ( M ... N ) \/ N < K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 662  DECID wdc 776   \/ w3o 919   /\ w3a 920   e. wcel 1434   class class class wbr 3806  (class class class)co 5565   RRcr 7119   < clt 7292   <_ cle 7293   ZZcz 8509   ...cfz 9182

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-addcom 7215  ax-addass 7217  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-0lt1 7221  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-cnre 7226  ax-pre-ltirr 7227  ax-pre-ltwlin 7228  ax-pre-lttrn 7229  ax-pre-ltadd 7231

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298  df-sub 7425  df-neg 7426  df-inn 8184  df-n0 8433  df-z 8510  df-fz 9183

This theorem is referenced by:  fzdcel  9212  hashfiv01gt1  9883