ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  icodiamlt Unicode version

Theorem icodiamlt 10193
Description: Two elements in a half-open interval have separation strictly less than the difference between the endpoints. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
icodiamlt  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) ) )  ->  ( abs `  ( C  -  D ) )  < 
( B  -  A
) )

Proof of Theorem icodiamlt
StepHypRef Expression
1 rexr 7215 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
2 elico2 9025 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( C  e.  ( A [,) B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <  B ) ) )
3 elico2 9025 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( D  e.  ( A [,) B )  <-> 
( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  <  B ) ) )
42, 3anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) )  <->  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) ) )
54biimpd 142 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) ) )
61, 5sylan2 280 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) ) )
7 simplr 497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  B  e.  RR )
87recnd 7198 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  B  e.  CC )
9 simpll 496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  A  e.  RR )
109recnd 7198 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  A  e.  CC )
118, 10negsubdi2d 7491 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  -u ( B  -  A )  =  ( A  -  B ) )
129, 7resubcld 7541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( A  -  B )  e.  RR )
13 simprl1 984 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  C  e.  RR )
1413, 7resubcld 7541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
15 simprr1 987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  D  e.  RR )
1613, 15resubcld 7541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( C  -  D )  e.  RR )
17 simprl2 985 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  A  <_  C
)
189, 13, 7, 17lesub1dd 7717 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( A  -  B )  <_  ( C  -  B )
)
19 simprr3 989 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  D  <  B
)
2015, 7, 13, 19ltsub2dd 7714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( C  -  B )  <  ( C  -  D )
)
2112, 14, 16, 18, 20lelttrd 7290 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( A  -  B )  <  ( C  -  D )
)
2211, 21eqbrtrd 3807 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  -u ( B  -  A )  <  ( C  -  D )
)
237, 15resubcld 7541 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( B  -  D )  e.  RR )
247, 9resubcld 7541 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
25 simprl3 986 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  C  <  B
)
2613, 7, 15, 25ltsub1dd 7713 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( C  -  D )  <  ( B  -  D )
)
27 simprr2 988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  A  <_  D
)
289, 15, 7, 27lesub2dd 7718 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( B  -  D )  <_  ( B  -  A )
)
2916, 23, 24, 26, 28ltletrd 7583 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( C  -  D )  <  ( B  -  A )
)
3016, 24absltd 10187 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( ( abs `  ( C  -  D
) )  <  ( B  -  A )  <->  (
-u ( B  -  A )  <  ( C  -  D )  /\  ( C  -  D
)  <  ( B  -  A ) ) ) )
3122, 29, 30mpbir2and 886 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) ) )  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  ( B  -  A ) )
3231ex 113 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  < 
B )  /\  ( D  e.  RR  /\  A  <_  D  /\  D  < 
B ) )  -> 
( abs `  ( C  -  D )
)  <  ( B  -  A ) ) )
336, 32syld 44 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) )  ->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  ( B  -  A )
) )
3433imp 122 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  ( A [,) B
)  /\  D  e.  ( A [,) B ) ) )  ->  ( abs `  ( C  -  D ) )  < 
( B  -  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    e. wcel 1434   class class class wbr 3787   ` cfv 4926  (class class class)co 5537   RRcr 7031   RR*cxr 7203    < clt 7204    <_ cle 7205    - cmin 7335   -ucneg 7336   [,)cico 8978   abscabs 10010
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145  ax-arch 7146  ax-caucvg 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-if 3354  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-ilim 4126  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-frec 6034  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-2 8154  df-3 8155  df-4 8156  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690  df-rp 8805  df-ico 8982  df-iseq 9511  df-iexp 9562  df-cj 9856  df-re 9857  df-im 9858  df-rsqrt 10011  df-abs 10012
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator