ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  imaiun Unicode version

Theorem imaiun 5431
Description: The image of an indexed union is the indexed union of the images. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
imaiun  |-  ( A
" U_ x  e.  B  C )  =  U_ x  e.  B  ( A " C )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem imaiun
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexcom4 2623 . . . 4  |-  ( E. x  e.  B  E. z ( z  e.  C  /\  <. z ,  y >.  e.  A
)  <->  E. z E. x  e.  B  ( z  e.  C  /\  <. z ,  y >.  e.  A
) )
2 vex 2605 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
32elima3 4705 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( A " C )  <->  E. z
( z  e.  C  /\  <. z ,  y
>.  e.  A ) )
43rexbii 2374 . . . 4  |-  ( E. x  e.  B  y  e.  ( A " C )  <->  E. x  e.  B  E. z
( z  e.  C  /\  <. z ,  y
>.  e.  A ) )
5 eliun 3690 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  U_ x  e.  B  C  <->  E. x  e.  B  z  e.  C )
65anbi1i 446 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  U_ x  e.  B  C  /\  <.
z ,  y >.  e.  A )  <->  ( E. x  e.  B  z  e.  C  /\  <. z ,  y >.  e.  A
) )
7 r19.41v 2511 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  B  ( z  e.  C  /\  <.
z ,  y >.  e.  A )  <->  ( E. x  e.  B  z  e.  C  /\  <. z ,  y >.  e.  A
) )
86, 7bitr4i 185 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  U_ x  e.  B  C  /\  <.
z ,  y >.  e.  A )  <->  E. x  e.  B  ( z  e.  C  /\  <. z ,  y >.  e.  A
) )
98exbii 1537 . . . 4  |-  ( E. z ( z  e. 
U_ x  e.  B  C  /\  <. z ,  y
>.  e.  A )  <->  E. z E. x  e.  B  ( z  e.  C  /\  <. z ,  y
>.  e.  A ) )
101, 4, 93bitr4ri 211 . . 3  |-  ( E. z ( z  e. 
U_ x  e.  B  C  /\  <. z ,  y
>.  e.  A )  <->  E. x  e.  B  y  e.  ( A " C ) )
112elima3 4705 . . 3  |-  ( y  e.  ( A " U_ x  e.  B  C )  <->  E. z
( z  e.  U_ x  e.  B  C  /\  <. z ,  y
>.  e.  A ) )
12 eliun 3690 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  B  ( A " C )  <->  E. x  e.  B  y  e.  ( A " C ) )
1310, 11, 123bitr4i 210 . 2  |-  ( y  e.  ( A " U_ x  e.  B  C )  <->  y  e.  U_ x  e.  B  ( A " C ) )
1413eqriv 2079 1  |-  ( A
" U_ x  e.  B  C )  =  U_ x  e.  B  ( A " C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   E.wrex 2350   <.cop 3409   U_ciun 3686   "cima 4374
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-cnv 4379  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384
This theorem is referenced by:  imauni  5432  uniqs  6230
  Copyright terms: Public domain W3C validator