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Theorem imval2 10666
Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
imval2 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( ( A - ( * ` A ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
Proof of Theorem imval2
StepHypRef Expression
1 imcl 10626 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
21recnd 7794 . . 3 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
3 2mulicn 8942 . . . 4 |- ( 2 x. _i ) e. CC
4 2muliap0 8944 . . . 4 |- ( 2 x. _i ) # 0
5 divcanap4 8459 . . . 4 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) # 0 ) -> ( ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( Im ` A ) )
63, 4, 5mp3an23 1307 . . 3 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( Im ` A ) )
72, 6syl 14 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( Im ` A ) )
8 recl 10625 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
98recnd 7794 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
10 ax-icn 7715 . . . . . . 7 |- _i e. CC
11 mulcl 7747 . . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
1210, 2, 11sylancr 410 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
139, 12addcld 7785 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC )
1413, 9, 12subsubd 8101 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
15 replim 10631 . . . . 5 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
16 remim 10632 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
1715, 16oveq12d 5792 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( A - ( * ` A ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
18122timesd 8962 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
19 mulcom 7749 . . . . . . . 8 |- ( ( ( Im ` A ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( ( 2 x. _i ) x. ( Im ` A ) ) )
203, 19mpan2 421 . . . . . . 7 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( ( 2 x. _i ) x. ( Im ` A ) ) )
21 2cn 8791 . . . . . . . 8 |- 2 e. CC
22 mulass 7751 . . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( ( 2 x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2321, 10, 22mp3an12 1305 . . . . . . 7 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( 2 x. _i ) x. ( Im ` A ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2420, 23eqtrd 2172 . . . . . 6 |- ( ( Im ` A ) e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
252, 24syl 14 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
269, 12pncan2d 8075 . . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( Re ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) )
2726oveq1d 5789 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2818, 25, 273eqtr4d 2182 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) - ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2914, 17, 283eqtr4rd 2183 . . 3 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) = ( A - ( * ` A ) ) )
3029oveq1d 5789 . 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( Im ` A ) x. ( 2 x. _i ) ) / ( 2 x. _i ) ) = ( ( A - ( * ` A ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
317, 30eqtr3d 2174 1 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( ( A - ( * ` A ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   0cc0 7620   _ici 7622   + caddc 7623   x. cmul 7625   - cmin 7933   # cap 8343   / cdiv 8432   2c2 8771   *ccj 10611   Recre 10612   Imcim 10613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-2 8779  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616
This theorem is referenced by:  resinval  11422
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