Theorem le2sq2 9637

Description: The square of a 'less than or equal to' ordering. (Contributed by NM, 21-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
le2sq2	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) )

Proof of Theorem le2sq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 499	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> A <_ B )
2		simprl 498	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> B e. RR )
3		0re 7170	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
4		letr 7250	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> 0 <_ B ) )
5	3, 4	mp3an1 1256	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> 0 <_ B ) )
6	5	exp4b 359	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( 0 <_ A -> ( A <_ B -> 0 <_ B ) ) ) )
7	6	com23 77	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A -> ( B e. RR -> ( A <_ B -> 0 <_ B ) ) ) )
8	7	imp43 347	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> 0 <_ B )
9	2, 8	jca 300	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
10		le2sq 9636	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )
11	9, 10	syldan 276	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) ) )
12	1, 11	mpbid 145	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ 2 ) <_ ( B ^ 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1434   class class class wbr 3787  (class class class)co 5537   RRcr 7031   0cc0 7032   <_ cle 7205   2c2 8145   ^cexp 9561

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-if 3354  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-ilim 4126  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-frec 6034  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-2 8154  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690  df-iseq 9511  df-iexp 9562

This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  10035