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Theorem resqrexlemglsq 9849
Description: Lemma for resqrex 9853. The sequence formed by squaring each term of  F converges to  ( L ^
2 ). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
resqrexlemgt0.rr  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
resqrexlemgt0.lim  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
resqrexlemsqa.g  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) ^ 2 ) )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemglsq  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  k )  <  ( ( L ^ 2 )  +  e )  /\  ( L ^ 2 )  < 
( ( G `  k )  +  e ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z   
e, F, j, k, i, y, z    x, F, k    e, L, j, k, i, y, z    ph, e, i, j, k, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x, e, i, j, k)    G( x, y, z, e, i, j, k)    L( x)

Proof of Theorem resqrexlemglsq
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 107 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  e  e.  RR+ )
2 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) ,  RR+ )
3 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
52, 3, 4resqrexlemf 9834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
65adantr 265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  F : NN
--> RR+ )
7 1nn 8001 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
87a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  1  e.  NN )
96, 8ffvelrnd 5331 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( F `  1 )  e.  RR+ )
109rpred 8720 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
11 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
1211adantr 265 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  L  e.  RR )
1310, 12readdcld 7114 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  1 )  +  L )  e.  RR )
149rpgt0d 8723 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  0  <  ( F `  1 ) )
15 resqrexlemgt0.lim . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
162, 3, 4, 11, 15resqrexlemgt0 9847 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  L )
1716adantr 265 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  0  <_  L )
18 addgtge0 7519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F ` 
1 )  e.  RR  /\  L  e.  RR )  /\  ( 0  < 
( F `  1
)  /\  0  <_  L ) )  ->  0  <  ( ( F ` 
1 )  +  L
) )
1910, 12, 14, 17, 18syl22anc 1147 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  0  <  ( ( F `  1
)  +  L ) )
2013, 19elrpd 8718 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  1 )  +  L )  e.  RR+ )
211, 20rpdivcld 8738 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( e  /  ( ( F `
 1 )  +  L ) )  e.  RR+ )
22 fveq2 5206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  ( F `  i )  =  ( F `  k ) )
2322breq1d 3802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  (
( F `  i
)  <  ( L  +  e )  <->  ( F `  k )  <  ( L  +  e )
) )
2422oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  (
( F `  i
)  +  e )  =  ( ( F `
 k )  +  e ) )
2524breq2d 3804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  ( L  <  ( ( F `
 i )  +  e )  <->  L  <  ( ( F `  k
)  +  e ) ) )
2623, 25anbi12d 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  e ) ) ) )
2726cbvralv 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  e ) ) )
2827rexbii 2348 . . . . . . . 8  |-  ( E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) )  <->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  e ) ) )
2928ralbii 2347 . . . . . . 7  |-  ( A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) )  <->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  e ) ) )
3015, 29sylib 131 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  e ) ) )
31 oveq2 5548 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  f  ->  ( L  +  e )  =  ( L  +  f ) )
3231breq2d 3804 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  f  ->  (
( F `  k
)  <  ( L  +  e )  <->  ( F `  k )  <  ( L  +  f )
) )
33 oveq2 5548 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  f  ->  (
( F `  k
)  +  e )  =  ( ( F `
 k )  +  f ) )
3433breq2d 3804 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  f  ->  ( L  <  ( ( F `
 k )  +  e )  <->  L  <  ( ( F `  k
)  +  f ) ) )
3532, 34anbi12d 450 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  f  ->  (
( ( F `  k )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  e ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( L  +  f )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  f ) ) ) )
3635rexralbidv 2367 . . . . . . 7  |-  ( e  =  f  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  e ) )  <->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  f )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  f ) ) ) )
3736cbvralv 2550 . . . . . 6  |-  ( A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  e ) )  <->  A. f  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  f )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  f ) ) )
3830, 37sylib 131 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. f  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  f )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  f ) ) )
3938adantr 265 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. f  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  f )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  f ) ) )
40 oveq2 5548 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( e  / 
( ( F ` 
1 )  +  L
) )  ->  ( L  +  f )  =  ( L  +  ( e  /  (
( F `  1
)  +  L ) ) ) )
4140breq2d 3804 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( e  / 
( ( F ` 
1 )  +  L
) )  ->  (
( F `  k
)  <  ( L  +  f )  <->  ( F `  k )  <  ( L  +  ( e  /  ( ( F `
 1 )  +  L ) ) ) ) )
42 oveq2 5548 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( e  / 
( ( F ` 
1 )  +  L
) )  ->  (
( F `  k
)  +  f )  =  ( ( F `
 k )  +  ( e  /  (
( F `  1
)  +  L ) ) ) )
4342breq2d 3804 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( e  / 
( ( F ` 
1 )  +  L
) )  ->  ( L  <  ( ( F `
 k )  +  f )  <->  L  <  ( ( F `  k
)  +  ( e  /  ( ( F `
 1 )  +  L ) ) ) ) )
4441, 43anbi12d 450 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( e  / 
( ( F ` 
1 )  +  L
) )  ->  (
( ( F `  k )  <  ( L  +  f )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  f ) )  <-> 
( ( F `  k )  <  ( L  +  ( e  /  ( ( F `
 1 )  +  L ) ) )  /\  L  <  (
( F `  k
)  +  ( e  /  ( ( F `
 1 )  +  L ) ) ) ) ) )
4544rexralbidv 2367 . . . . 5  |-  ( f  =  ( e  / 
( ( F ` 
1 )  +  L
) )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  f )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  f ) )  <->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  ( e  /  ( ( F `
 1 )  +  L ) ) )  /\  L  <  (
( F `  k
)  +  ( e  /  ( ( F `
 1 )  +  L ) ) ) ) ) )
4645rspcv 2669 . . . 4  |-  ( ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) )  e.  RR+  ->  ( A. f  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  f )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  f ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( e  /  (
( F `  1
)  +  L ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) ) )
4721, 39, 46sylc 60 . . 3  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  ( e  /  ( ( F `
 1 )  +  L ) ) )  /\  L  <  (
( F `  k
)  +  ( e  /  ( ( F `
 1 )  +  L ) ) ) ) )
48 simpllr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
j  e.  NN )
49 simplr 490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  j ) )
50 eluznn 8634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN )
5148, 49, 50syl2anc 397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
k  e.  NN )
526ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  ->  F : NN --> RR+ )
5352, 51ffvelrnd 5331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  RR+ )
54 2z 8330 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
5554a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
2  e.  ZZ )
5653, 55rpexpcld 9573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR+ )
57 fveq2 5206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
5857oveq1d 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
( F `  x
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 k ) ^
2 ) )
59 resqrexlemsqa.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) ^ 2 ) )
6058, 59fvmptg 5276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR+ )  ->  ( G `  k
)  =  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )
6151, 56, 60syl2anc 397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( G `  k
)  =  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )
6253rpred 8720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )
6362recnd 7113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  CC )
6412ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  ->  L  e.  RR )
6564recnd 7113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  ->  L  e.  CC )
66 subsq 9525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  L  e.  CC )  ->  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  ( L ^ 2 ) )  =  ( ( ( F `  k )  +  L )  x.  ( ( F `  k )  -  L
) ) )
6763, 65, 66syl2anc 397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  ( L ^ 2 ) )  =  ( ( ( F `  k )  +  L )  x.  ( ( F `  k )  -  L
) ) )
6862, 64readdcld 7114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  k )  +  L
)  e.  RR )
6962, 64resubcld 7451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  k )  -  L
)  e.  RR )
7068, 69remulcld 7115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 k )  +  L )  x.  (
( F `  k
)  -  L ) )  e.  RR )
7113ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( F ` 
1 )  +  L
)  e.  RR )
7271, 69remulcld 7115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 1 )  +  L )  x.  (
( F `  k
)  -  L ) )  e.  RR )
731ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
e  e.  RR+ )
7473rpred 8720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
e  e.  RR )
753ad4antr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
764ad4antr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
0  <_  A )
7715ad4antr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
782, 75, 76, 64, 77, 51resqrexlemoverl 9848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  ->  L  <_  ( F `  k ) )
7962, 64subge0d 7600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( 0  <_  (
( F `  k
)  -  L )  <-> 
L  <_  ( F `  k ) ) )
8078, 79mpbird 160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
0  <_  ( ( F `  k )  -  L ) )
81 fveq2 5206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
8281oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  1  ->  (
( F `  k
)  +  L )  =  ( ( F `
 1 )  +  L ) )
83 eqle 7168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  k )  +  L
)  e.  RR  /\  ( ( F `  k )  +  L
)  =  ( ( F `  1 )  +  L ) )  ->  ( ( F `
 k )  +  L )  <_  (
( F `  1
)  +  L ) )
8468, 82, 83syl2an 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  /\  k  =  1 )  ->  ( ( F `
 k )  +  L )  <_  (
( F `  1
)  +  L ) )
8562adantr 265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  /\  1  <  k )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )
8610ad4antr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  /\  1  <  k )  -> 
( F `  1
)  e.  RR )
8764adantr 265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  /\  1  <  k )  ->  L  e.  RR )
883ad5antr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  /\  1  <  k )  ->  A  e.  RR )
894ad5antr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  /\  1  <  k )  -> 
0  <_  A )
907a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  /\  1  <  k )  -> 
1  e.  NN )
9151adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  /\  1  <  k )  -> 
k  e.  NN )
92 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  /\  1  <  k )  -> 
1  <  k )
932, 88, 89, 90, 91, 92resqrexlemdecn 9839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  /\  1  <  k )  -> 
( F `  k
)  <  ( F `  1 ) )
9485, 86, 93ltled 7194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  /\  1  <  k )  -> 
( F `  k
)  <_  ( F `  1 ) )
9585, 86, 87, 94leadd1dd 7624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  /\  ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  /\  1  <  k )  -> 
( ( F `  k )  +  L
)  <_  ( ( F `  1 )  +  L ) )
96 nn1gt1 8023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  =  1  \/  1  <  k ) )
9751, 96syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( k  =  1  \/  1  <  k
) )
9884, 95, 97mpjaodan 722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  k )  +  L
)  <_  ( ( F `  1 )  +  L ) )
9968, 71, 69, 80, 98lemul1ad 7980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 k )  +  L )  x.  (
( F `  k
)  -  L ) )  <_  ( (
( F `  1
)  +  L )  x.  ( ( F `
 k )  -  L ) ) )
100 simprl 491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( F `  k
)  <  ( L  +  ( e  / 
( ( F ` 
1 )  +  L
) ) ) )
10121ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( e  /  (
( F `  1
)  +  L ) )  e.  RR+ )
102101rpred 8720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( e  /  (
( F `  1
)  +  L ) )  e.  RR )
10362, 64, 102ltsubadd2d 7608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 k )  -  L )  <  (
e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) )  <-> 
( F `  k
)  <  ( L  +  ( e  / 
( ( F ` 
1 )  +  L
) ) ) ) )
104100, 103mpbird 160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  k )  -  L
)  <  ( e  /  ( ( F `
 1 )  +  L ) ) )
10520ad3antrrr 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( F ` 
1 )  +  L
)  e.  RR+ )
10669, 74, 105ltmuldiv2d 8769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  1 )  +  L )  x.  ( ( F `  k )  -  L
) )  <  e  <->  ( ( F `  k
)  -  L )  <  ( e  / 
( ( F ` 
1 )  +  L
) ) ) )
107104, 106mpbird 160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 1 )  +  L )  x.  (
( F `  k
)  -  L ) )  <  e )
10870, 72, 74, 99, 107lelttrd 7200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 k )  +  L )  x.  (
( F `  k
)  -  L ) )  <  e )
10967, 108eqbrtrd 3812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  ( L ^ 2 ) )  <  e )
11062resqcld 9575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR )
11164resqcld 9575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( L ^ 2 )  e.  RR )
112110, 111, 74ltsubadd2d 7608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( L ^ 2 ) )  <  e  <->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  < 
( ( L ^
2 )  +  e ) ) )
113109, 112mpbid 139 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  k ) ^ 2 )  <  ( ( L ^ 2 )  +  e ) )
11461, 113eqbrtrd 3812 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( G `  k
)  <  ( ( L ^ 2 )  +  e ) )
11561, 110eqeltrd 2130 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( G `  k
)  e.  RR )
116115, 74readdcld 7114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( G `  k )  +  e )  e.  RR )
11717ad3antrrr 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
0  <_  L )
118 le2sq2 9495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  RR  /\  0  <_  L )  /\  ( ( F `  k )  e.  RR  /\  L  <_  ( F `  k ) ) )  ->  ( L ^
2 )  <_  (
( F `  k
) ^ 2 ) )
11964, 117, 62, 78, 118syl22anc 1147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( L ^ 2 )  <_  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )
120119, 61breqtrrd 3818 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( L ^ 2 )  <_  ( G `  k ) )
121115, 73ltaddrpd 8754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( G `  k
)  <  ( ( G `  k )  +  e ) )
122111, 115, 116, 120, 121lelttrd 7200 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( L ^ 2 )  <  ( ( G `  k )  +  e ) )
123114, 122jca 294 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  /\  ( ( F `
 k )  < 
( L  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) ) )  -> 
( ( G `  k )  <  (
( L ^ 2 )  +  e )  /\  ( L ^
2 )  <  (
( G `  k
)  +  e ) ) )
124123ex 112 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( ( F `  k )  <  ( L  +  ( e  /  (
( F `  1
)  +  L ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  k )  +  ( e  /  ( ( F `  1 )  +  L ) ) ) )  ->  (
( G `  k
)  <  ( ( L ^ 2 )  +  e )  /\  ( L ^ 2 )  < 
( ( G `  k )  +  e ) ) ) )
125124ralimdva 2404 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  <  ( L  +  ( e  / 
( ( F ` 
1 )  +  L
) ) )  /\  L  <  ( ( F `
 k )  +  ( e  /  (
( F `  1
)  +  L ) ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
)  <  ( ( L ^ 2 )  +  e )  /\  ( L ^ 2 )  < 
( ( G `  k )  +  e ) ) ) )
126125reximdva 2438 . . 3  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  <  ( L  +  ( e  /  ( ( F `
 1 )  +  L ) ) )  /\  L  <  (
( F `  k
)  +  ( e  /  ( ( F `
 1 )  +  L ) ) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( G `  k )  <  (
( L ^ 2 )  +  e )  /\  ( L ^
2 )  <  (
( G `  k
)  +  e ) ) ) )
12747, 126mpd 13 . 2  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( G `  k )  <  (
( L ^ 2 )  +  e )  /\  ( L ^
2 )  <  (
( G `  k
)  +  e ) ) )
128127ralrimiva 2409 1  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  k )  <  ( ( L ^ 2 )  +  e )  /\  ( L ^ 2 )  < 
( ( G `  k )  +  e ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    \/ wo 639    = wceq 1259    e. wcel 1409   A.wral 2323   E.wrex 2324   {csn 3403   class class class wbr 3792    |-> cmpt 3846    X. cxp 4371   -->wf 4926   ` cfv 4930  (class class class)co 5540    |-> cmpt2 5542   CCcc 6945   RRcr 6946   0cc0 6947   1c1 6948    + caddc 6950    x. cmul 6952    < clt 7119    <_ cle 7120    - cmin 7245    / cdiv 7725   NNcn 7990   2c2 8040   ZZcz 8302   ZZ>=cuz 8569   RR+crp 8681    seqcseq 9375   ^cexp 9419
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-3 8050  df-4 8051  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-rp 8682  df-iseq 9376  df-iexp 9420
This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  9851
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