ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lemul12b Unicode version
Theorem lemul12b 8619
Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
lemul12b |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
Proof of Theorem lemul12b
StepHypRef Expression
1 lemul2a 8617 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. RR /\ D e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) )
21ex 114 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) )
323comr 1189 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ C e. RR /\ D e. RR ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) )
433expb 1182 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) )
54adantrrr 478 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) )
65adantlr 468 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( C <_ D -> ( A x. C ) <_ ( A x. D ) ) )
7 lemul1a 8616 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) )
87ex 114 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( A <_ B -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) )
983expa 1181 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( A <_ B -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) )
109adantllr 472 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( A <_ B -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) )
1110adantrl 469 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( A <_ B -> ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) )
126, 11anim12d 333 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( C <_ D /\ A <_ B ) -> ( ( A x. C ) <_ ( A x. D ) /\ ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) ) )
1312ancomsd 267 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( ( A x. C ) <_ ( A x. D ) /\ ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) ) )
14 remulcl 7748 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A x. C ) e. RR )
1514adantlr 468 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ C e. RR ) -> ( A x. C ) e. RR )
1615ad2ant2r 500 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( A x. C ) e. RR )
17 remulcl 7748 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ D e. RR ) -> ( A x. D ) e. RR )
1817ad2ant2r 500 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( A x. D ) e. RR )
1918ad2ant2rl 502 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( A x. D ) e. RR )
20 remulcl 7748 . . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ D e. RR ) -> ( B x. D ) e. RR )
2120adantrr 470 . . . 4 |- ( ( B e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) -> ( B x. D ) e. RR )
2221ad2ant2l 499 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( B x. D ) e. RR )
23 letr 7847 . . 3 |- ( ( ( A x. C ) e. RR /\ ( A x. D ) e. RR /\ ( B x. D ) e. RR ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( A x. D ) /\ ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
2416, 19, 22, 23syl3anc 1216 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( A x. D ) /\ ( A x. D ) <_ ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
2513, 24syld 45 1 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( D e. RR /\ 0 <_ D ) ) ) -> ( ( A <_ B /\ C <_ D ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   x. cmul 7625   <_ cle 7801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344
This theorem is referenced by:  lemul12a  8620  lemul12bd  8701
  Copyright terms: Public domain W3C validator