Theorem lmbr2 12386

Description: Express the binary relation "sequence F converges to point P " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmbr.2	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
lmbr2.4	|- Z = ( ZZ>= ` M )
lmbr2.5	|- ( ph -> M e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
lmbr2	|- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, u, F   j, J, k, u   ph, j, k, u   j, Z, k, u   j, M   P, j, k, u   j, X, k, u

Allowed substitution hints:   M( u, k)

Proof of Theorem lmbr2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbr.2	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2	1	lmbr 12385	. 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) ) )
3		uzf 9332	. . . . . . . 8 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
4		ffn 5272	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> ZZ>= Fn ZZ )
5		reseq2 4814	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( ZZ>= ` j ) -> ( F |` z ) = ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) )
6		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( ZZ>= ` j ) -> z = ( ZZ>= ` j ) )
7	5, 6	feq12d 5262	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( ZZ>= ` j ) -> ( ( F |` z ) : z --> u <-> ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u ) )
8	7	rexrn 5557	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u <-> E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u ) )
9	3, 4, 8	mp2b 8	. . . . . . 7 |- ( E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u <-> E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u )
10		pmfun 6562	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( X ^pm CC ) -> Fun F )
11	10	ad2antrl 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> Fun F )
12		ffvresb 5583	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> ( ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
14	13	rexbidv 2438	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
15		lmbr2.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
16	15	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> M e. ZZ )
17		lmbr2.4	. . . . . . . . . 10 |- Z = ( ZZ>= ` M )
18	17	rexuz3 10765	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
19	16, 18	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
20	14, 19	bitr4d 190	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
21	9, 20	syl5bb 191	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
22	21	imbi2d 229	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) <-> ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
23	22	ralbidv 2437	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
24	23	pm5.32da 447	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
25		df-3an 964	. . 3 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) )
26		df-3an 964	. . 3 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
27	24, 25, 26	3bitr4g 222	. 2 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
28	2, 27	bitrd 187	1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   ~Pcpw 3510   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   ran crn 4540   |` cres 4541   Fun wfun 5117   Fn wfn 5118   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ^pm cpm 6543   CCcc 7621   ZZcz 9057   ZZ>=cuz 9329  TopOnctopon 12180   ~~> tclm 12359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-addcom 7723  ax-addass 7725  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pm 6545  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-inn 8724  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330  df-top 12168  df-topon 12181  df-lm 12362

This theorem is referenced by:  lmbrf  12387  lmcvg  12389  lmres  12420  lmtopcnp  12422