Theorem lmconst 12385

Description: A constant sequence converges to its value. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmconst.2	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
lmconst	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> ( Z X. { P } ) ( ~~> t ` J ) P )

Proof of Theorem lmconst

Dummy variables j k u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 982	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> P e. X )
2		simp3 983	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
3		uzid 9340	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
5		lmconst.2	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
6	4, 5	eleqtrrdi 2233	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> M e. Z )
7		idd 21	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( P e. u -> P e. u ) )
8	7	ralrimdva 2512	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> ( P e. u -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) P e. u ) )
9		fveq2 5421	. . . . . 6 |- ( j = M -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` M ) )
10	9	raleqdv 2632	. . . . 5 |- ( j = M -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) P e. u <-> A. k e. ( ZZ>= ` M ) P e. u ) )
11	10	rspcev 2789	. . . 4 |- ( ( M e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` M ) P e. u ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) P e. u )
12	6, 8, 11	syl6an 1410	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) P e. u ) )
13	12	ralrimivw 2506	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) P e. u ) )
14		simp1 981	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> J e. (TopOn ` X ) )
15		fconst6g 5321	. . . 4 |- ( P e. X -> ( Z X. { P } ) : Z --> X )
16	1, 15	syl 14	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> ( Z X. { P } ) : Z --> X )
17		fvconst2g 5634	. . . 4 |- ( ( P e. X /\ k e. Z ) -> ( ( Z X. { P } ) ` k ) = P )
18	1, 17	sylan 281	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) /\ k e. Z ) -> ( ( Z X. { P } ) ` k ) = P )
19	14, 5, 2, 16, 18	lmbrf 12384	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> ( ( Z X. { P } ) ( ~~> t ` J ) P <-> ( P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) P e. u ) ) ) )
20	1, 13, 19	mpbir2and 928	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ P e. X /\ M e. ZZ ) -> ( Z X. { P } ) ( ~~> t ` J ) P )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   {csn 3527   class class class wbr 3929   X. cxp 4537   -->wf 5119   ` cfv 5123   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326  TopOnctopon 12177   ~~> tclm 12356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pm 6545  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-top 12165  df-topon 12178  df-lm 12359

This theorem is referenced by: (None)