Theorem nnaordr 6171

Description: Ordering property of addition of natural numbers. (Contributed by NM, 9-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nnaordr	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B <-> ( A +o C ) e. ( B +o C ) ) )

Proof of Theorem nnaordr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaord 6170	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
2		nnacom 6149	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ A e. om ) -> ( C +o A ) = ( A +o C ) )
3	2	ancoms 264	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( C +o A ) = ( A +o C ) )
4	3	3adant2 958	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( C +o A ) = ( A +o C ) )
5		nnacom 6149	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( C +o B ) = ( B +o C ) )
6	5	ancoms 264	. . . 4 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( C +o B ) = ( B +o C ) )
7	6	3adant1 957	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( C +o B ) = ( B +o C ) )
8	4, 7	eleq12d 2153	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C +o A ) e. ( C +o B ) <-> ( A +o C ) e. ( B +o C ) ) )
9	1, 8	bitrd 186	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B <-> ( A +o C ) e. ( B +o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   /\ w3a 920   = wceq 1285   e. wcel 1434   omcom 4360  (class class class)co 5564   +o coa 6083

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-iord 4150  df-on 4152  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-irdg 6040  df-oadd 6090

This theorem is referenced by: (None)