Theorem prssnql 7287

Description: The lower cut of a positive real is a subset of the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prssnql	|- ( <. L , U >. e. P. -> L C_ Q. )

Proof of Theorem prssnql

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinp 7282	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. x e. Q. x e. L /\ E. y e. Q. y e. U ) ) /\ ( ( A. x e. Q. ( x e. L <-> E. y e. Q. ( x <Q y /\ y e. L ) ) /\ A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) ) /\ A. x e. Q. -. ( x e. L /\ x e. U ) /\ A. x e. Q. A. y e. Q. ( x <Q y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) ) )
2		simplll 522	. 2 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. x e. Q. x e. L /\ E. y e. Q. y e. U ) ) /\ ( ( A. x e. Q. ( x e. L <-> E. y e. Q. ( x <Q y /\ y e. L ) ) /\ A. y e. Q. ( y e. U <-> E. x e. Q. ( x <Q y /\ x e. U ) ) ) /\ A. x e. Q. -. ( x e. L /\ x e. U ) /\ A. x e. Q. A. y e. Q. ( x <Q y -> ( x e. L \/ y e. U ) ) ) ) -> L C_ Q. )
3	1, 2	sylbi 120	1 |- ( <. L , U >. e. P. -> L C_ Q. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   /\ w3a 962   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   C_ wss 3071   <.cop 3530   class class class wbr 3929   Q.cnq 7088   <Q cltq 7093   P.cnp 7099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-qs 6435  df-ni 7112  df-nqqs 7156  df-inp 7274

This theorem is referenced by:  elprnql  7289