Theorem elprnql 7289

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7287	. 2 |- ( <. L , U >. e. P. -> L C_ Q. )
2	1	sselda 3097	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ B e. L ) -> B e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   <.cop 3530   Q.cnq 7088   P.cnp 7099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-qs 6435  df-ni 7112  df-nqqs 7156  df-inp 7274

This theorem is referenced by:  prubl  7294  prnmaxl  7296  prarloclemlt  7301  prarloclemlo  7302  prarloclem5  7308  genpdf  7316  genipv  7317  genpelvl  7320  genpml  7325  genprndl  7329  genpassl  7332  addnqprllem  7335  addnqprl  7337  addlocprlemeqgt  7340  addlocprlemgt  7342  addlocprlem  7343  nqprl  7359  prmuloc  7374  mulnqprl  7376  addcomprg  7386  mulcomprg  7388  distrlem1prl  7390  distrlem4prl  7392  1idprl  7398  ltsopr  7404  ltexprlemm  7408  ltexprlemopl  7409  ltexprlemopu  7411  ltexprlemupu  7412  ltexprlemdisj  7414  ltexprlemloc  7415  ltexprlemfl  7417  ltexprlemrl  7418  ltexprlemfu  7419  ltexprlemru  7420  addcanprleml  7422  addcanprlemu  7423  recexprlemloc  7439  recexprlem1ssl  7441  recexprlem1ssu  7442  recexprlemss1l  7443  aptiprleml  7447  aptiprlemu  7448  caucvgprprlemopl  7505  suplocexprlemex  7530