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Theorem qbtwnz 9208
Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a rational number. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnz  |-  ( A  e.  QQ  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem qbtwnz
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qbtwnzlemex 9207 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  (
x  +  1 ) ) )
2 simplrl 495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
32zred 8419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
4 qre 8657 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )
54ad2antrr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
6 simplrr 496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
76zred 8419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  e.  RR )
8 1red 7100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  1  e.  RR )
97, 8readdcld 7114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
10 simprll 497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  A )
11 simprrr 500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  A  <  ( y  +  1 ) )
123, 5, 9, 10, 11lelttrd 7200 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  <  ( y  +  1 ) )
13 zleltp1 8357 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  <_  y  <->  x  <  ( y  +  1 ) ) )
142, 6, 13syl2anc 397 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
x  <_  y  <->  x  <  ( y  +  1 ) ) )
1512, 14mpbird 160 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  y )
163, 8readdcld 7114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
17 simprrl 499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  <_  A )
18 simprlr 498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  A  <  ( x  +  1 ) )
197, 5, 16, 17, 18lelttrd 7200 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  <  ( x  +  1 ) )
20 zleltp1 8357 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  x  <->  y  <  ( x  + 
1 ) ) )
216, 2, 20syl2anc 397 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
y  <_  x  <->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
2219, 21mpbird 160 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  y  <_  x )
233, 7letri3d 7192 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  (
x  =  y  <->  ( x  <_  y  /\  y  <_  x ) ) )
2415, 22, 23mpbir2and 862 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )  ->  x  =  y )
2524ex 112 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  (
y  +  1 ) ) )  ->  x  =  y ) )
2625ralrimivva 2418 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) )  ->  x  =  y ) )
27 breq1 3795 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  A  <->  y  <_  A ) )
28 oveq1 5547 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +  1 )  =  ( y  +  1 ) )
2928breq2d 3804 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  <  ( x  + 
1 )  <->  A  <  ( y  +  1 ) ) )
3027, 29anbi12d 450 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) )  <-> 
( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) ) )
3130rmo4 2757 . . 3  |-  ( E* x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  <->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( ( ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  ( y  <_  A  /\  A  <  ( y  +  1 ) ) )  ->  x  =  y ) )
3226, 31sylibr 141 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  E* x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
33 reu5 2539 . 2  |-  ( E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  <->  ( E. x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) )  /\  E* x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
341, 32, 33sylanbrc 402 1  |-  ( A  e.  QQ  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    e. wcel 1409   A.wral 2323   E.wrex 2324   E!wreu 2325   E*wrmo 2326   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540   RRcr 6946   1c1 6948    + caddc 6950    < clt 7119    <_ cle 7120   ZZcz 8302   QQcq 8651
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060  ax-arch 7061
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-q 8652  df-rp 8682
This theorem is referenced by:  flqcl  9225  flqlelt  9226  flqbi  9240
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