Theorem sess2 4101

Description: Subset theorem for the set-like predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sess2	|- ( A C_ B -> ( R Se B -> R Se A ) )

Proof of Theorem sess2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssralv 3059	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B { y e. B | y R x } e. _V -> A. x e. A { y e. B | y R x } e. _V ) )
2		rabss2 3078	. . . . 5 |- ( A C_ B -> { y e. A | y R x } C_ { y e. B | y R x } )
3		ssexg 3925	. . . . . 6 |- ( ( { y e. A | y R x } C_ { y e. B | y R x } /\ { y e. B | y R x } e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
4	3	ex 113	. . . . 5 |- ( { y e. A | y R x } C_ { y e. B | y R x } -> ( { y e. B | y R x } e. _V -> { y e. A | y R x } e. _V ) )
5	2, 4	syl 14	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( { y e. B | y R x } e. _V -> { y e. A | y R x } e. _V ) )
6	5	ralimdv 2431	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. A { y e. B | y R x } e. _V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V ) )
7	1, 6	syld 44	. 2 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B { y e. B | y R x } e. _V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V ) )
8		df-se 4096	. 2 |- ( R Se B <-> A. x e. B { y e. B | y R x } e. _V )
9		df-se 4096	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
10	7, 8, 9	3imtr4g 203	1 |- ( A C_ B -> ( R Se B -> R Se A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1434   A.wral 2349   {crab 2353   _Vcvv 2602   C_ wss 2974   class class class wbr 3793   Se wse 4092

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rab 2358  df-v 2604  df-in 2980  df-ss 2987  df-se 4096

This theorem is referenced by:  seeq2  4103