Theorem ssunieq 3769

Description: Relationship implying union. (Contributed by NM, 10-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ssunieq	|- ( ( A e. B /\ A. x e. B x C_ A ) -> A = U. B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ssunieq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 3764	. . 3 |- ( A e. B -> A C_ U. B )
2		unissb 3766	. . . 4 |- ( U. B C_ A <-> A. x e. B x C_ A )
3	2	biimpri 132	. . 3 |- ( A. x e. B x C_ A -> U. B C_ A )
4	1, 3	anim12i 336	. 2 |- ( ( A e. B /\ A. x e. B x C_ A ) -> ( A C_ U. B /\ U. B C_ A ) )
5		eqss 3112	. 2 |- ( A = U. B <-> ( A C_ U. B /\ U. B C_ A ) )
6	4, 5	sylibr 133	1 |- ( ( A e. B /\ A. x e. B x C_ A ) -> A = U. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   C_ wss 3071   U.cuni 3736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-uni 3737

This theorem is referenced by:  unimax  3770  hashinfuni  10523  hashennnuni  10525