Theorem eqss 3015

Description: The subclass relationship is antisymmetric. Compare Theorem 4 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eqss	|- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )

Proof of Theorem eqss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		albiim 1417	. 2 |- ( A. x ( x e. A <-> x e. B ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. B ) /\ A. x ( x e. B -> x e. A ) ) )
2		dfcleq 2076	. 2 |- ( A = B <-> A. x ( x e. A <-> x e. B ) )
3		dfss2 2989	. . 3 |- ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
4		dfss2 2989	. . 3 |- ( B C_ A <-> A. x ( x e. B -> x e. A ) )
5	3, 4	anbi12i 448	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ A ) <-> ( A. x ( x e. A -> x e. B ) /\ A. x ( x e. B -> x e. A ) ) )
6	1, 2, 5	3bitr4i 210	1 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1283   = wceq 1285   e. wcel 1434   C_ wss 2974

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-11 1438  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-in 2980  df-ss 2987

This theorem is referenced by:  eqssi  3016  eqssd  3017  sseq1  3021  sseq2  3022  eqimss  3052  ssrabeq  3081  uneqin  3222  ss0b  3290  vss  3298  sssnm  3554  unidif  3641  ssunieq  3642  iuneq1  3699  iuneq2  3702  iunxdif2  3734  ssext  3984  pweqb  3986  eqopab2b  4042  pwunim  4049  soeq2  4079  iunpw  4237  ordunisuc2r  4266  tfi  4331  eqrel  4455  eqrelrel  4467  coeq1  4521  coeq2  4522  cnveq  4537  dmeq  4563  relssres  4676  xp11m  4789  xpcanm  4790  xpcan2m  4791  ssrnres  4793  fnres  5046  eqfnfv3  5299  fneqeql2  5308  fconst4m  5413  f1imaeq  5446  eqoprab2b  5594  fo1stresm  5819  fo2ndresm  5820  nnacan  6151  nnmcan  6158  isprm2  10643  bj-sseq  10753  bdeq0  10816  bdvsn  10823  bdop  10824  bdeqsuc  10830  bj-om  10890