Theorem sucelon 4419

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sucelon	|- ( A e. On <-> suc A e. On )

Proof of Theorem sucelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceloni 4417	. 2 |- ( A e. On -> suc A e. On )
2		eloni 4297	. . 3 |- ( suc A e. On -> Ord suc A )
3		elex 2697	. . . . 5 |- ( suc A e. On -> suc A e. _V )
4		sucexb 4413	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
5	3, 4	sylibr 133	. . . 4 |- ( suc A e. On -> A e. _V )
6		elong 4295	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. On <-> Ord A ) )
7		ordsucg 4418	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( Ord A <-> Ord suc A ) )
8	6, 7	bitrd 187	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A e. On <-> Ord suc A ) )
9	5, 8	syl 14	. . 3 |- ( suc A e. On -> ( A e. On <-> Ord suc A ) )
10	2, 9	mpbird 166	. 2 |- ( suc A e. On -> A e. On )
11	1, 10	impbii 125	1 |- ( A e. On <-> suc A e. On )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   Ord word 4284   Oncon0 4285   suc csuc 4287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-tr 4027  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293

This theorem is referenced by:  onsucmin  4423  onsucuni2  4479