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Theorem supeq123d 6463
Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
supeq123d.a  |-  ( ph  ->  A  =  D )
supeq123d.b  |-  ( ph  ->  B  =  E )
supeq123d.c  |-  ( ph  ->  C  =  F )
Assertion
Ref Expression
supeq123d  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  B ,  C )  =  sup ( D ,  E ,  F )
)

Proof of Theorem supeq123d
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supeq123d.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  E )
2 supeq123d.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =  D )
3 supeq123d.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  =  F )
43breqd 3804 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x C y  <-> 
x F y ) )
54notbid 625 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -.  x C y  <->  -.  x F
y ) )
62, 5raleqbidv 2562 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  A  -.  x C y  <->  A. y  e.  D  -.  x F y ) )
73breqd 3804 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y C x  <-> 
y F x ) )
83breqd 3804 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y C z  <-> 
y F z ) )
92, 8rexeqbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  A  y C z  <->  E. z  e.  D  y F z ) )
107, 9imbi12d 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y C x  ->  E. z  e.  A  y C
z )  <->  ( y F x  ->  E. z  e.  D  y F
z ) ) )
111, 10raleqbidv 2562 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( y C x  ->  E. z  e.  A  y C
z )  <->  A. y  e.  E  ( y F x  ->  E. z  e.  D  y F
z ) ) )
126, 11anbi12d 457 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  x C y  /\  A. y  e.  B  (
y C x  ->  E. z  e.  A  y C z ) )  <-> 
( A. y  e.  D  -.  x F y  /\  A. y  e.  E  ( y F x  ->  E. z  e.  D  y F
z ) ) ) )
131, 12rabeqbidv 2597 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x C y  /\  A. y  e.  B  (
y C x  ->  E. z  e.  A  y C z ) ) }  =  { x  e.  E  |  ( A. y  e.  D  -.  x F y  /\  A. y  e.  E  ( y F x  ->  E. z  e.  D  y F z ) ) } )
1413unieqd 3620 . 2  |-  ( ph  ->  U. { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x C y  /\  A. y  e.  B  (
y C x  ->  E. z  e.  A  y C z ) ) }  =  U. {
x  e.  E  | 
( A. y  e.  D  -.  x F y  /\  A. y  e.  E  ( y F x  ->  E. z  e.  D  y F
z ) ) } )
15 df-sup 6456 . 2  |-  sup ( A ,  B ,  C )  =  U. { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x C y  /\  A. y  e.  B  (
y C x  ->  E. z  e.  A  y C z ) ) }
16 df-sup 6456 . 2  |-  sup ( D ,  E ,  F )  =  U. { x  e.  E  |  ( A. y  e.  D  -.  x F y  /\  A. y  e.  E  (
y F x  ->  E. z  e.  D  y F z ) ) }
1714, 15, 163eqtr4g 2139 1  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  B ,  C )  =  sup ( D ,  E ,  F )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285   A.wral 2349   E.wrex 2350   {crab 2353   U.cuni 3609   class class class wbr 3793   supcsup 6454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-uni 3610  df-br 3794  df-sup 6456
This theorem is referenced by:  infeq123d  6488
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