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Theorem supeq3 6462
Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
supeq3  |-  ( R  =  S  ->  sup ( A ,  B ,  R )  =  sup ( A ,  B ,  S ) )

Proof of Theorem supeq3
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq 3795 . . . . . . 7  |-  ( R  =  S  ->  (
x R y  <->  x S
y ) )
21notbid 625 . . . . . 6  |-  ( R  =  S  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x S y ) )
32ralbidv 2369 . . . . 5  |-  ( R  =  S  ->  ( A. y  e.  A  -.  x R y  <->  A. y  e.  A  -.  x S y ) )
4 breq 3795 . . . . . . 7  |-  ( R  =  S  ->  (
y R x  <->  y S x ) )
5 breq 3795 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  S  ->  (
y R z  <->  y S
z ) )
65rexbidv 2370 . . . . . . 7  |-  ( R  =  S  ->  ( E. z  e.  A  y R z  <->  E. z  e.  A  y S
z ) )
74, 6imbi12d 232 . . . . . 6  |-  ( R  =  S  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z )  <->  ( y S x  ->  E. z  e.  A  y S
z ) ) )
87ralbidv 2369 . . . . 5  |-  ( R  =  S  ->  ( A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z )  <->  A. y  e.  B  ( y S x  ->  E. z  e.  A  y S
z ) ) )
93, 8anbi12d 457 . . . 4  |-  ( R  =  S  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  x S y  /\  A. y  e.  B  (
y S x  ->  E. z  e.  A  y S z ) ) ) )
109rabbidv 2594 . . 3  |-  ( R  =  S  ->  { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }  =  { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x S y  /\  A. y  e.  B  ( y S x  ->  E. z  e.  A  y S z ) ) } )
1110unieqd 3620 . 2  |-  ( R  =  S  ->  U. {
x  e.  B  | 
( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) ) }  =  U. { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x S y  /\  A. y  e.  B  ( y S x  ->  E. z  e.  A  y S z ) ) } )
12 df-sup 6456 . 2  |-  sup ( A ,  B ,  R )  =  U. { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }
13 df-sup 6456 . 2  |-  sup ( A ,  B ,  S )  =  U. { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x S y  /\  A. y  e.  B  (
y S x  ->  E. z  e.  A  y S z ) ) }
1411, 12, 133eqtr4g 2139 1  |-  ( R  =  S  ->  sup ( A ,  B ,  R )  =  sup ( A ,  B ,  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285   A.wral 2349   E.wrex 2350   {crab 2353   U.cuni 3609   class class class wbr 3793   supcsup 6454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-uni 3610  df-br 3794  df-sup 6456
This theorem is referenced by:  infeq3  6487
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