Theorem tfrlemisucfn 5993

Description: We can extend an acceptable function by one element to produce a function. Lemma for tfrlemi1 6001. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlemisucfn.1	|- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
tfrlemisucfn.2	|- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
tfrlemisucfn.3	|- ( ph -> z e. On )
tfrlemisucfn.4	|- ( ph -> g Fn z )
tfrlemisucfn.5	|- ( ph -> g e. A )

Assertion

Ref	Expression
tfrlemisucfn	|- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z )

Distinct variable groups:   f, g, x, y, z, A   f, F, g, x, y, z   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x, z, f, g)

Proof of Theorem tfrlemisucfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2613	. . 3 |- z e. _V
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ph -> z e. _V )
3		tfrlemisucfn.2	. . . 4 |- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
4	3	tfrlem3-2d 5981	. . 3 |- ( ph -> ( Fun F /\ ( F ` g ) e. _V ) )
5	4	simprd 112	. 2 |- ( ph -> ( F ` g ) e. _V )
6		tfrlemisucfn.4	. 2 |- ( ph -> g Fn z )
7		eqid 2083	. 2 |- ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } )
8		df-suc 4154	. 2 |- suc z = ( z u. { z } )
9		elirrv 4319	. . 3 |- -. z e. z
10	9	a1i 9	. 2 |- ( ph -> -. z e. z )
11	2, 5, 6, 7, 8, 10	fnunsn 5057	1 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   A.wal 1283   = wceq 1285   e. wcel 1434   {cab 2069   A.wral 2353   E.wrex 2354   _Vcvv 2610   u. cun 2980   {csn 3416   <.cop 3419   Oncon0 4146   suc csuc 4148   |` cres 4393   Fun wfun 4946   Fn wfn 4947   ` cfv 4952

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-setind 4308

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-suc 4154  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-fv 4960

This theorem is referenced by:  tfrlemisucaccv  5994  tfrlemibfn  5997