Theorem tfrlemisucfn 6221

Description: We can extend an acceptable function by one element to produce a function. Lemma for tfrlemi1 6229. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlemisucfn.1	|- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
tfrlemisucfn.2	|- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
tfrlemisucfn.3	|- ( ph -> z e. On )
tfrlemisucfn.4	|- ( ph -> g Fn z )
tfrlemisucfn.5	|- ( ph -> g e. A )

Assertion

Ref	Expression
tfrlemisucfn	|- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z )

Distinct variable groups:   f, g, x, y, z, A   f, F, g, x, y, z   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x, z, f, g)

Proof of Theorem tfrlemisucfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2689	. . 3 |- z e. _V
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ph -> z e. _V )
3		tfrlemisucfn.2	. . . 4 |- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
4	3	tfrlem3-2d 6209	. . 3 |- ( ph -> ( Fun F /\ ( F ` g ) e. _V ) )
5	4	simprd 113	. 2 |- ( ph -> ( F ` g ) e. _V )
6		tfrlemisucfn.4	. 2 |- ( ph -> g Fn z )
7		eqid 2139	. 2 |- ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } )
8		df-suc 4293	. 2 |- suc z = ( z u. { z } )
9		elirrv 4463	. . 3 |- -. z e. z
10	9	a1i 9	. 2 |- ( ph -> -. z e. z )
11	2, 5, 6, 7, 8, 10	fnunsn 5230	1 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1329   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   u. cun 3069   {csn 3527   <.cop 3530   Oncon0 4285   suc csuc 4287   |` cres 4541   Fun wfun 5117   Fn wfn 5118   ` cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-fv 5131

This theorem is referenced by:  tfrlemisucaccv  6222  tfrlemibfn  6225