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Theorem tfrlemibfn 5973
Description: The union of  B is a function defined on  x. Lemma for tfrlemi1 5977. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlemisucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrlemisucfn.2  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
tfrlemi1.3  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) ) }
tfrlemi1.4  |-  ( ph  ->  x  e.  On )
tfrlemi1.5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
tfrlemibfn  |-  ( ph  ->  U. B  Fn  x
)
Distinct variable groups:    f, g, h, w, x, y, z, A    f, F, g, h, w, x, y, z    ph, w, y    w, B, f, g, h, z    ph, g, h, z
Allowed substitution hints:    ph( x, f)    B( x, y)

Proof of Theorem tfrlemibfn
StepHypRef Expression
1 tfrlemisucfn.1 . . . . . 6  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
2 tfrlemisucfn.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
3 tfrlemi1.3 . . . . . 6  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) ) }
4 tfrlemi1.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  x  e.  On )
5 tfrlemi1.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) )
61, 2, 3, 4, 5tfrlemibacc 5971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
76unissd 3632 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. B  C_  U. A
)
81recsfval 5962 . . . 4  |- recs ( F )  =  U. A
97, 8syl6sseqr 3020 . . 3  |-  ( ph  ->  U. B  C_ recs ( F ) )
101tfrlem7 5964 . . 3  |-  Fun recs ( F )
11 funss 4948 . . 3  |-  ( U. B  C_ recs ( F )  ->  ( Fun recs ( F )  ->  Fun  U. B ) )
129, 10, 11mpisyl 1351 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  U. B )
13 simpr3 923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) )
142ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
154ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  x  e.  On )
16 simplr 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  z  e.  x
)
17 onelon 4149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  On )
1815, 16, 17syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  z  e.  On )
19 simpr1 921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  g  Fn  z
)
20 simpr2 922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  g  e.  A
)
211, 14, 18, 19, 20tfrlemisucfn 5969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  Fn  suc  z )
22 dffn2 5075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  Fn  suc  z  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) : suc  z
--> _V )
2321, 22sylib 131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) : suc  z
--> _V )
24 fssxp 5086 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) : suc  z --> _V 
->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  C_  ( suc  z  X.  _V )
)
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  C_  ( suc  z  X.  _V )
)
26 eloni 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
2715, 26syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  Ord  x )
28 ordsucss 4258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord  x  ->  ( z  e.  x  ->  suc  z  C_  x ) )
2927, 16, 28sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  suc  z  C_  x )
30 xpss1 4476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  z  C_  x  ->  ( suc  z  X.  _V )  C_  ( x  X.  _V ) )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( suc  z  X.  _V )  C_  (
x  X.  _V )
)
3225, 31sstrd 2983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  C_  (
x  X.  _V )
)
33 vex 2577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  g  e. 
_V
34 vex 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
352tfrlem3-2d 5959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( Fun  F  /\  ( F `  g )  e.  _V ) )
3635simprd 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( F `  g
)  e.  _V )
37 opexg 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( F `  g )  e.  _V )  ->  <. z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V )
3834, 36, 37sylancr 399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
<. z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V )
39 snexg 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V  ->  { <. z ,  ( F `  g ) >. }  e.  _V )
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { <. z ,  ( F `  g )
>. }  e.  _V )
41 unexg 4206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  e.  _V  /\  {
<. z ,  ( F `
 g ) >. }  e.  _V )  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  _V )
4233, 40, 41sylancr 399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  _V )
43 elpwg 3395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  e.  _V  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  ~P ( x  X.  _V )  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) 
C_  ( x  X.  _V ) ) )
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  e.  ~P ( x  X.  _V )  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) 
C_  ( x  X.  _V ) ) )
4544ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  e.  ~P ( x  X.  _V )  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } )  C_  (
x  X.  _V )
) )
4632, 45mpbird 160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  e.  ~P ( x  X.  _V )
)
4713, 46eqeltrd 2130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  h  e.  ~P ( x  X.  _V )
)
4847ex 112 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  x )  ->  (
( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) )  ->  h  e.  ~P ( x  X.  _V ) ) )
4948exlimdv 1716 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  x )  ->  ( E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) )  ->  h  e.  ~P (
x  X.  _V )
) )
5049rexlimdva 2450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) )  ->  h  e.  ~P (
x  X.  _V )
) )
5150abssdv 3042 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { h  |  E. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) ) } 
C_  ~P ( x  X.  _V ) )
523, 51syl5eqss 3017 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  ~P (
x  X.  _V )
)
53 sspwuni 3767 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ~P ( x  X.  _V )  <->  U. B  C_  (
x  X.  _V )
)
5452, 53sylib 131 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. B  C_  (
x  X.  _V )
)
55 dmss 4562 . . . . 5  |-  ( U. B  C_  ( x  X.  _V )  ->  dom  U. B  C_  dom  ( x  X.  _V ) )
5654, 55syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  U. B  C_  dom  ( x  X.  _V ) )
57 dmxpss 4781 . . . 4  |-  dom  (
x  X.  _V )  C_  x
5856, 57syl6ss 2985 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  U. B  C_  x )
591, 2, 3, 4, 5tfrlemibxssdm 5972 . . 3  |-  ( ph  ->  x  C_  dom  U. B
)
6058, 59eqssd 2990 . 2  |-  ( ph  ->  dom  U. B  =  x )
61 df-fn 4933 . 2  |-  ( U. B  Fn  x  <->  ( Fun  U. B  /\  dom  U. B  =  x )
)
6212, 60, 61sylanbrc 402 1  |-  ( ph  ->  U. B  Fn  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896   A.wal 1257    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   {cab 2042   A.wral 2323   E.wrex 2324   _Vcvv 2574    u. cun 2943    C_ wss 2945   ~Pcpw 3387   {csn 3403   <.cop 3406   U.cuni 3608   Ord word 4127   Oncon0 4128   suc csuc 4130    X. cxp 4371   dom cdm 4373    |` cres 4375   Fun wfun 4924    Fn wfn 4925   -->wf 4926   ` cfv 4930  recscrecs 5950
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-fv 4938  df-recs 5951
This theorem is referenced by:  tfrlemibex  5974  tfrlemiubacc  5975  tfrlemiex  5976
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