Theorem tposoprab 6177

Description: Transposition of a class of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposoprab.1	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
tposoprab	|- tpos F = { <. <. y , x >. , z >. | ph }

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem tposoprab

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposoprab.1	. . 3 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }
2	1	tposeqi 6174	. 2 |- tpos F = tpos { <. <. x , y >. , z >. | ph }
3		reldmoprab 5856	. . 3 |- Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph }
4		dftpos3 6159	. . 3 |- ( Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> tpos { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- tpos { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c }
6		nfcv 2281	. . . . 5 |- F/_ y <. b , a >.
7		nfoprab2 5821	. . . . 5 |- F/_ y { <. <. x , y >. , z >. | ph }
8		nfcv 2281	. . . . 5 |- F/_ y c
9	6, 7, 8	nfbr 3974	. . . 4 |- F/ y <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
10		nfcv 2281	. . . . 5 |- F/_ x <. b , a >.
11		nfoprab1 5820	. . . . 5 |- F/_ x { <. <. x , y >. , z >. | ph }
12		nfcv 2281	. . . . 5 |- F/_ x c
13	10, 11, 12	nfbr 3974	. . . 4 |- F/ x <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
14		nfv 1508	. . . 4 |- F/ a <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
15		nfv 1508	. . . 4 |- F/ b <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
16		opeq12 3707	. . . . . 6 |- ( ( b = x /\ a = y ) -> <. b , a >. = <. x , y >. )
17	16	ancoms 266	. . . . 5 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> <. b , a >. = <. x , y >. )
18	17	breq1d 3939	. . . 4 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> ( <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c <-> <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c ) )
19	9, 13, 14, 15, 18	cbvoprab12 5845	. . 3 |- { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } = { <. <. y , x >. , c >. | <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c }
20		nfcv 2281	. . . . 5 |- F/_ z <. x , y >.
21		nfoprab3 5822	. . . . 5 |- F/_ z { <. <. x , y >. , z >. | ph }
22		nfcv 2281	. . . . 5 |- F/_ z c
23	20, 21, 22	nfbr 3974	. . . 4 |- F/ z <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
24		nfv 1508	. . . 4 |- F/ c ph
25		breq2 3933	. . . . 5 |- ( c = z -> ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c <-> <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } z ) )
26		df-br 3930	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } z <-> <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
27		oprabid 5803	. . . . . 6 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> ph )
28	26, 27	bitri 183	. . . . 5 |- ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } z <-> ph )
29	25, 28	syl6bb 195	. . . 4 |- ( c = z -> ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c <-> ph ) )
30	23, 24, 29	cbvoprab3 5847	. . 3 |- { <. <. y , x >. , c >. | <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } = { <. <. y , x >. , z >. | ph }
31	19, 30	eqtri 2160	. 2 |- { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } = { <. <. y , x >. , z >. | ph }
32	2, 5, 31	3eqtri 2164	1 |- tpos F = { <. <. y , x >. , z >. | ph }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   <.cop 3530   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   Rel wrel 4544   {coprab 5775  tpos ctpos 6141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-fv 5131  df-oprab 5778  df-tpos 6142

This theorem is referenced by:  tposmpo  6178