Theorem txval 12427

Description: Value of the binary topological product operation. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
txval.1	|- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )

Assertion

Ref	Expression
txval	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` B ) )

Distinct variable groups:   x, y, R   x, S, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem txval

Dummy variables r s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2697	. . . 4 |- ( R e. V -> R e. _V )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> R e. _V )
3		elex 2697	. . . 4 |- ( S e. W -> S e. _V )
4	3	adantl 275	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> S e. _V )
5		mpoexga 6110	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V )
6		rnexg 4804	. . . 4 |- ( ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V )
7		tgvalex 12222	. . . 4 |- ( ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V )
8	5, 6, 7	3syl 17	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V )
9		mpoeq12 5831	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( x e. r , y e. s |-> ( x X. y ) ) = ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) )
10	9	rneqd 4768	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ran ( x e. r , y e. s |-> ( x X. y ) ) = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) )
11	10	fveq2d 5425	. . . 4 |- ( ( r = R /\ s = S ) -> ( topGen ` ran ( x e. r , y e. s |-> ( x X. y ) ) ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
12		df-tx 12425	. . . 4 |- tX = ( r e. _V , s e. _V |-> ( topGen ` ran ( x e. r , y e. s |-> ( x X. y ) ) ) )
13	11, 12	ovmpoga 5900	. . 3 |- ( ( R e. _V /\ S e. _V /\ ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) e. _V ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
14	2, 4, 8, 13	syl3anc 1216	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) ) )
15		txval.1	. . 3 |- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
16	15	fveq2i 5424	. 2 |- ( topGen ` B ) = ( topGen ` ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) )
17	14, 16	syl6eqr 2190	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   X. cxp 4537   ran crn 4540   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776   topGenctg 12138   tX ctx 12424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-topgen 12144  df-tx 12425

This theorem is referenced by:  eltx  12431  txtop  12432  txtopon  12434  txopn  12437  txss12  12438  txbasval  12439  txcnp  12443  txcnmpt  12445  txrest  12448  txlm  12451  xmettxlem  12681  xmettx  12682