ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axmulgt0 GIF version

Theorem axmulgt0 7328
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. (This restates ax-pre-mulgt0 7232 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
axmulgt0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem axmulgt0
StepHypRef Expression
1 ax-pre-mulgt0 7232 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
2 0re 7258 . . . 4 0 ∈ ℝ
3 ltxrlt 7322 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ 0 < 𝐴))
42, 3mpan 415 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 < 𝐴))
5 ltxrlt 7322 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ 0 < 𝐵))
62, 5mpan 415 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 ↔ 0 < 𝐵))
74, 6bi2anan9 571 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) ↔ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)))
8 remulcl 7240 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
9 ltxrlt 7322 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
102, 8, 9sylancr 405 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
111, 7, 103imtr4d 201 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wcel 1434   class class class wbr 3806  (class class class)co 5565  cr 7119  0cc0 7120   < cltrr 7124   · cmul 7125   < clt 7292
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1re 7209  ax-addrcl 7212  ax-mulrcl 7214  ax-rnegex 7224  ax-pre-mulgt0 7232
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2613  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-xp 4398  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-ltxr 7297
This theorem is referenced by:  mulgt0  7330  mulgt0i  7364
  Copyright terms: Public domain W3C validator